Игра в шоке - Википедия - Choquet game

В Игра в шоке это топологическая игра названный в честь Гюстав Шоке, который в 1969 году первым исследовал подобные игры.^[1] Близко родственная игра известна как сильная игра в шоке.

Позволять ${ displaystyle X}$ быть непустым топологическое пространство. Игра в Шоке ${ displaystyle X}$, ${ Displaystyle G (X)}$, определяется следующим образом: Игрок I выбирает ${ displaystyle U_ {0}}$, непустой открытое подмножество из ${ displaystyle X}$, то Игрок II выбирает ${ displaystyle V_ {0}}$, непустое открытое подмножество ${ displaystyle U_ {0}}$, то Игрок I выбирает ${ displaystyle U_ {1}}$, непустое открытое подмножество ${ displaystyle V_ {0}}$и т. д. Игроки продолжают этот процесс, выстраивая последовательность ${ Displaystyle U_ {0} supseteq V_ {0} supseteq U_ {1} supseteq V_ {1} supseteq U_ {2} ...}$ Если ${ Displaystyle bigcap limits _ {я = 0} ^ { infty} U_ {я} = emptyset}$ то побеждает Игрок I, иначе побеждает Игрок II.

Это было доказано Джон К. Окстоби что непустое топологическое пространство ${ displaystyle X}$ это Пространство Бэра тогда и только тогда, когда у Игрока I нет выигрышной стратегии. Непустое топологическое пространство ${ displaystyle X}$ в которой у Игрока II есть выигрышная стратегия, называется Пространство для шоке. (Обратите внимание, что возможно ни один из игроков не имеет выигрышной стратегии.) Таким образом, каждое пространство Шоке является Бэром. С другой стороны, есть пространства Бэра (даже отделяемый метризуемый единицы), которые не являются пространствами Шоке, поэтому обратное неверно.

Сильная игра в Шоке ${ displaystyle X}$, ${ Displaystyle G ^ {s} (X)}$, определяется аналогично, за исключением того, что Игрок I выбирает ${ displaystyle (x_ {0}, U_ {0})}$, то Игрок II выбирает ${ displaystyle V_ {0}}$, то Игрок I выбирает ${ displaystyle (x_ {1}, U_ {1})}$и т. д., такие что ${ displaystyle x_ {i} in U_ {i}, V_ {i}}$ для всех ${ displaystyle i}$. Топологическое пространство ${ displaystyle X}$ в которой у Игрока II есть выигрышная стратегия для ${ Displaystyle G ^ {s} (X)}$ называется сильное пространство Шоке. Каждое сильное пространство Шоке является пространством Шоке, хотя обратное неверно.

Все непусто полные метрические пространства и компактный Т₂ пробелы сильны Шоке. (В первом случае Игрок II, учитывая ${ displaystyle (x_ {i}, U_ {i})}$, выбирает ${ displaystyle V_ {i}}$ такой, что ${ displaystyle operatorname {diam} (V_ {i}) <1 / i}$ и ${ Displaystyle OperatorName {cl} (V_ {i}) substeq V_ {i-1}}$. Тогда последовательность ${ displaystyle left {x_ {i} right } к x in V_ {i}}$ для всех ${ displaystyle i}$.) Любое подмножество сильного пространства Шоке, являющееся ${ displaystyle G _ { delta}}$ набор сильна Шоке. Метризуемые пространства - это полностью метризуемый тогда и только тогда, когда они сильны Шоке.^[2][3]

Рекомендации