Топологическая игра - Википедия - Topological game

А топологическая игра это бесконечная игра идеальная информация играли между двумя игроками на топологическое пространство. Игроки выбирают объекты с топологическими свойствами, такими как точки, открытые наборы, закрытые наборы и открытые покрытия. Время обычно дискретно, но пьесы могут иметь трансфинитный длины и расширения к континууму времени. Условия для выигрыша игрока могут включать такие понятия, как топологическое замыкание и конвергенция.

Оказывается, некоторые фундаментальные топологические конструкции имеют естественный аналог в топологических играх; примерами этого являются Бэр недвижимость, Пространства Бэра, свойства полноты и сходимости, свойства разделения, свойства покрытия и основы, непрерывные образы, множества Суслина и особые пространства. В то же время некоторые топологические свойства, которые естественным образом возникают в топологических играх, могут быть обобщены за пределы теоретико-игровой контекст: в силу этой двойственности топологические игры широко используются для описания новых свойств топологических пространств и для представления известных свойств в ином свете. Есть также тесные связи с принципы отбора.

Период, термин топологическая игра был впервые представлен Клод Берже,^[1]^[2]^[3]который определил основные идеи и формализм по аналогии с топологическими группами. Другое значение для топологическая играпонятие «топологические свойства, определяемые играми», было введено в статье Растислава Телгарского,^[4]а затем «пространства, определяемые топологическими играми»;^[5]этот подход основан на аналогиях с матричными играми, дифференциальные игры и статистические игры, а также определяет и изучает топологические игры в топологии. Спустя более чем 35 лет термин «топологическая игра» получил широкое распространение и появился в нескольких сотнях публикаций. Обзорная статья Телгарского^[6]подчеркивает происхождение топологических игр от Игра Банаха – Мазура.

Есть два других значения топологических игр, но они используются реже.

Период, термин топологическая игра представил Леон Петросян^[7] в изучении антагонистических преследование-уклонение игры. Траектории в этих топологических играх непрерывны во времени.
Игры Нэш (в Hex игры ), Милнор игры (Y игры), Шепли игры (проективные плоские игры) и игры Гейла (Bridg-It игры) назывались топологические игры к Дэвид Гейл в своем приглашенном обращении [1979/80]. Количество ходов в этих играх всегда конечно. Открытие или повторное открытие этих топологических игр относится к 1948–49 годам.

Базовая установка для топологической игры

Многие фреймворки могут быть определены для бесконечного позиционные игры совершенной информации.

Типичная установка - это игра между двумя игроками, я и II, которые поочередно выбирают подмножества топологического пространства Икс. в пый тур, игрок я играет подмножество я_п из Икс, а игрок II отвечает подмножеством J_п. Для каждого натурального числа есть раунд п, и после того, как все раунды сыграны, игрок я выигрывает, если последовательность

я₀, J₀, я₁, J₁,...

удовлетворяет некоторому свойству, иначе player II побеждает.

Игра определяется свойством цели и разрешенными ходами на каждом шаге. Например, в Игра Банаха – Мазура BM(Икс) допустимые ходы - непустые открытые подмножества предыдущего хода, а игрок я выиграет, если ${ displaystyle bigcap _ {n} I_ {n} neq emptyset}$ .

Эту типичную настройку можно изменить различными способами. Например, вместо того, чтобы быть подмножеством Икс, каждый ход может состоять из пары ${ displaystyle (I, p)}$ куда ${ displaystyle I subset X}$ и ${ displaystyle p in x}$ . В качестве альтернативы последовательность ходов может иметь длину несколько порядковый номер Кроме как ω₁.

Определения и обозначения

А играть в игры представляет собой последовательность разрешенных ходов

я₀, J₀, я₁, J₁,...

В результат игры является либо победой, либо проигрышем для каждого игрока.

А стратегия для игрока п - функция, определенная над любой законной конечной последовательностью ходов П'противник. Например, стратегия для игрока я это функция s из последовательностей (J₀, J₁, ..., J_п) к подмножествам Икс. Говорят, что в игру играют согласно стратегии s если каждый игрок п движение - это ценность s от последовательности предыдущих ходов противника. Так что если s это стратегия для игрока я, игра

{ displaystyle s ( lambda), J_ {0}, s (J_ {0}), J_ {1}, s (J_ {0}, J_ {1}), J_ {2}, s (J_ {0 }, J_ {1}, J_ {2}), ldots}

является согласно стратегии s. (Здесь λ обозначает пустую последовательность ходов.)

Стратегия для игрока п как говорят победа если для каждой игры по стратегии s приводит к победе игрока п, для любой последовательности разрешенных ходов П'противник. Если игрок п имеет выигрышную стратегию для игры грамм, это обозначается ${ Displaystyle P uparrow G}$ . Если у любого из игроков есть выигрышная стратегия для грамм, тогда грамм как говорят определенный. Это следует из аксиома выбора что существуют неопределенные топологические игры.
Стратегия для п является стационарный если это зависит только от последнего хода П'противник; стратегия Марков если это зависит как от последнего хода соперника и от порядкового номера хода.

Игра Банаха – Мазура

Первой изученной топологической игрой была игра Банаха – Мазура, которая является убедительным примером связи между теоретико-игровыми понятиями и топологическими свойствами.

Позволять Y - топологическое пространство, и пусть Икс быть подмножеством Y, называется победный сет. Игрок я начинает игру с выбора непустого открытого подмножества ${ displaystyle I_ {0} subset Y}$ , и игрок II отвечает непустым открытым подмножеством ${ displaystyle J_ {0} subset I_ {0}}$ . Игра продолжается таким же образом, игроки по очереди выбирают непустое открытое подмножество из предыдущей игры. После бесконечной последовательности ходов, по одному на каждое натуральное число, игра заканчивается, и я побеждает тогда и только тогда, когда

{ displaystyle X cap bigcap _ {n in omega} I_ {n} neq emptyset.}

Теоретико-игровые и топологические связи, продемонстрированные игрой, включают:

II имеет выигрышную стратегию в игре тогда и только тогда, когда Икс из первая категория в Y (набор из первая категория или же скудный если это счетное объединение нигде не плотных множеств).
Если Y полное метрическое пространство, то я имеет выигрышную стратегию тогда и только тогда, когда Икс является прийти в некотором непустом открытом подмножестве Y.
Если Икс имеет Собственность Бэра в Y, то игра определяется.

Другие топологические игры

Некоторые другие известные топологические игры:

то бинарная игра представлен Улам - модификация игры Банах – Мазур;
то Банахская игра - играл на подмножестве реальной линии;
то Игра в шоке - связанные с отсеиваемыми пространствами;
игра с открытием точки - в котором игрок я выбирает точки и игрок II выбирает открытые кварталы их.

За прошедшие годы было введено гораздо больше игр, в том числе для изучения: Куратовски принцип индукции; разделительные и редукционные свойства множеств в близких проективных классах; Лузин сита; инвариантный описательная теория множеств; Суслин наборы; то теорема о замкнутом графике; перепончатые пространства; МП-пространства; то аксиома выбора; рекурсивные функции. Топологические игры также были связаны с идеями математической логики, теории моделей, бесконечно длинных формул, бесконечных цепочек переменных кванторов и т. Д. ультрафильтры, частично упорядоченные наборы, и число раскраски бесконечных графов.

Более длинный список и более подробное описание см. В обзорном докладе Телгарски за 1987 год.^[6]

Смотрите также

Топологическая загадка