Формула Чоула – Сельберга - Chowla–Selberg formula

В математика, то Формула Чоула – Сельберга оценка определенного продукта ценностей Гамма-функция при рациональных ценностях с точки зрения ценностей Функция Дедекинда эта при мнимых квадратичных иррациональных числах. Результат был по существу найден Лерх (1897 ) и заново открыл Чоула и Сельберг (1949, 1967 ).

Заявление

В логарифмической форме формула Чоула – Сельберга утверждает, что в некоторых случаях сумма

{ displaystyle { frac {w} {4}} sum _ {r} chi (r) log Gamma left ({ frac {r} {D}} right) = { frac {h } {2}} log (4 pi { sqrt {| D |}}) + sum _ { tau} log left ({ sqrt { Im ( tau)}} | eta ( tau) | ^ {2} right)}

можно оценить с помощью Формула предела Кронекера. Здесь χ - символ квадратичного вычета по модулю D, куда −D это дискриминант воображаемого квадратичное поле. Сумма берется по 0 < р < D, с обычным соглашением χ (р) = 0, если р и D есть общий фактор. Функция η - это Функция Дедекинда эта, и час - номер класса, а ш это количество корней из единицы.

Происхождение и приложения

Происхождение таких формул теперь видно из теории комплексное умножение, и в частности в теории периодов абелева разновидность CM-типа. Это привело к большому количеству исследований и обобщений. В частности, существует аналог формулы Чоула – Сельберга для p-адические числа с участием p-адическая гамма-функция, называется Формула Гросса – Коблица.

Формула Чоула – Сельберга дает формулу для конечного произведения значений эта-функций. Объединив это с теорией комплексное умножение, можно дать формулу для отдельных абсолютных значений функции эта как

{ displaystyle Im ( tau) | eta ( tau) | ^ {4} = { frac { alpha} {4 pi { sqrt {| D |}}}} prod _ {r} Gamma (r / | D |) ^ { chi (r) { frac {w} {2h}}}}

для некоторого алгебраического числа α.

Примеры

Использование формулы отражения для гамма-функции дает:

${ Displaystyle eta (я) = 2 ^ {- 1} pi ^ {- 3/4} Gamma ({ tfrac {1} {4}})}$

Смотрите также

Теорема умножения

Формула Чоула – Сельберга - Chowla–Selberg formula

Содержание

Заявление

Происхождение и приложения

Примеры

Смотрите также

Рекомендации