Диаграмма Цихона - Википедия - Cichońs diagram

В теории множеств Диаграмма Цихона или же Диаграмма Цишона это таблица из 10 бесконечных Количественные числительные связанный с теория множеств действительных чисел отображение доказуемой связи между этими кардинальные характеристики континуума. Все эти кардиналы больше или равны ${ displaystyle aleph _ {1}}$, наименьший несчетный кардинал, и они ограничены сверху величиной ${ displaystyle 2 ^ { aleph _ {0}}}$, то мощность континуума. Четыре кардинала описывают свойства идеальный наборов измерять ноль; еще четыре описывают соответствующие свойства идеала скудные наборы (наборы первой категории).

Определения

Позволять я быть идеальный фиксированного бесконечного множества Икс, содержащую все конечные подмножества Икс. Мы определяем следующее "кардинальные коэффициенты " из я:

• ${ displaystyle operatorname {add} (I) = min {| { mathcal {A}} |: { mathcal {A}} substeq I wedge bigcup { mathcal {A}} notin I {большой }}.}$

«Аддитивность» я наименьшее количество наборов из я чей союз не в я больше. Поскольку любой идеал замкнут относительно конечных объединений, это число всегда не меньше ${ displaystyle aleph _ {0}}$; если я является σ-идеалом, то добавьте (я) ≥ ${ displaystyle aleph _ {1}}$.

• ${ displaystyle operatorname {cov} (I) = min {| { mathcal {A}} |: { mathcal {A}} substeq I wedge bigcup { mathcal {A}} = X { большой }}.}$

«Покровное число» я наименьшее количество наборов из я чей союз состоит из Икс. В качестве Икс сам не в я, мы должны добавить (я) ≤ cov (я).

• ${ displaystyle operatorname {non} (I) = min {| A |: A substeq X wedge A notin I { big }},}$

«Число однородности» я (иногда также пишется ${ displaystyle operatorname {unif} (I)}$) - размер наименьшего множества, не входящего в я. По нашему предположению о я, Добавить(я) ≤ non (я).

• ${ displaystyle operatorname {cof} (I) = min {| { mathcal {B}} |: { mathcal {B}} substeq I wedge ( forall A in I) ( существует B in { mathcal {B}}) (A substeq B) { big }}.}$

«Конечность» я это конфинальность из частичный заказ (я, ⊆). Легко видеть, что мы должны иметь не (я) ≤ cof (я) и cov (я) ≤ cof (я).

Кроме того, "ограничивающее число "или" число неограниченности " ${ displaystyle { mathfrak {b}}}$ и "доминирующее число " ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$ определяются следующим образом:

• ${ displaystyle { mathfrak {b}} = min { big {} | F |: F substeq { mathbb {N}} ^ { mathbb {N}} wedge ( forall g в { mathbb {N}} ^ { mathbb {N}}) ( существует f в F) ( существует ^ { infty} n in { mathbb {N}}) (g (n) < f (n)) { big }},}$
• ${ displaystyle { mathfrak {d}} = min { big {} | F |: F substeq { mathbb {N}} ^ { mathbb {N}} wedge ( forall g in { mathbb {N}} ^ { mathbb {N}}) ( существует f in F) ( forall ^ { infty} n in { mathbb {N}}) (g (n) < f (n)) { big }},}$

куда "${ Displaystyle существует ^ { infty} п в { mathbb {N}}}$"означает:" существует бесконечно много натуральных чисел п такое, что ... ", и"${ Displaystyle forall ^ { infty} п in { mathbb {N}}}$"означает" для всех, кроме конечного числа натуральных чисел п у нас есть...".

Диаграмма

Позволять ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ - σ-идеал тех подмножеств вещественной прямой, которые скудный (или «первой категории») в евклидова топология, и разреши ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ - σ-идеал тех подмножеств вещественной прямой, которые имеют Мера Лебега нуль. Тогда имеют место следующие неравенства (где стрелка из а к б следует читать как означающее, что а ≤ б):

		${ displaystyle operatorname {cov} ({ mathcal {L}})}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle operatorname {non} ({ mathcal {K}})}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle operatorname {cof} ({ mathcal {K}})}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle operatorname {cof} ({ mathcal {L}})}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle 2 ^ { aleph _ {0}}}$
		${ Displaystyle { Bigg uparrow}}$		${ displaystyle uparrow}$		${ displaystyle uparrow}$		${ displaystyle { Bigg uparrow}}$
				${ displaystyle { mathfrak {b}}}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle { mathfrak {d}}}$
				${ displaystyle uparrow}$		${ displaystyle uparrow}$
${ displaystyle aleph _ {1}}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle operatorname {add} ({ mathcal {L}})}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle operatorname {add} ({ mathcal {K}})}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle operatorname {cov} ({ mathcal {K}})}$	${ displaystyle longrightarrow}$	${ displaystyle operatorname {non} ({ mathcal {L}})}$

Кроме того, выполняются следующие соотношения:

${ displaystyle operatorname {add} ({ mathcal {K}}) = min { operatorname {cov} ({ mathcal {K}}), { mathfrak {b}} }}$ и ${ displaystyle operatorname {cof} ({ mathcal {K}}) = max { operatorname {non} ({ mathcal {K}}), { mathfrak {d}} }.}$^[1]

Оказывается, что неравенства, описанные диаграммой, вместе с упомянутыми выше отношениями - это все отношения между этими кардиналами, которые доказываются в ZFC в следующем ограниченном смысле. Позволять А быть любым назначением кардиналов ${ displaystyle aleph _ {1}}$ и ${ displaystyle aleph _ {2}}$ к 10 кардиналам на диаграмме Цихона. Тогда, если А согласуется с диаграммой в том, что нет стрелки от ${ displaystyle aleph _ {2}}$ к ${ displaystyle aleph _ {1}}$, и если А также удовлетворяет двум дополнительным соотношениям, то А может быть реализована в какой-либо модели ZFC.

Для больших размеров континуума ситуация менее ясна. Согласно ZFC, все кардиналы диаграммы Цихона одновременно различны, за исключением ${ displaystyle operatorname {add} ({ mathcal {K}})}$ и ${ displaystyle operatorname {cof} ({ mathcal {K}})}$ (которые совпадают с другими записями),^[2][3] но (по состоянию на 2019 год) остается открытым, все ли комбинации кардинальных порядков, согласующиеся с диаграммой, согласованы.

Некоторые неравенства на диаграмме (например, «add ≤ cov») сразу следуют из определений. Неравенства ${ displaystyle operatorname {cov} ({ mathcal {K}}) leq operatorname {non} ({ mathcal {L}})}$ и ${ displaystyle operatorname {cov} ({ mathcal {L}}) leq operatorname {non} ({ mathcal {K}})}$ являются классическими теоремами и вытекают из того факта, что вещественную прямую можно разбить на скудное множество и множество нулевой меры.

Замечания

Британский математик Дэвид Фремлин назвал диаграмму в честь польского математика из Вроцлав, Яцек Цихонь [pl ].^[4]

В гипотеза континуума, из ${ displaystyle 2 ^ { aleph _ {0}}}$ будучи равным ${ displaystyle aleph _ {1}}$, сделает все эти стрелки равенствами.

Аксиома мартина, ослабление CH, означает, что все кардиналы на диаграмме (кроме, возможно, ${ displaystyle aleph _ {1}}$) равны ${ displaystyle 2 ^ { aleph _ {0}}}$.

Рекомендации