Парадокс вращения монеты - Coin rotation paradox

Иллюзия вращения монеты. Внешняя монета совершила полный оборот, вернувшись в то же положение после поворота только примерно половины внутренней монеты. Полностью вращаясь вокруг внутренней монеты, она совершит 2 оборота.
Путь единственной точки на краю движущейся монеты - это кардиоидный.

В парадокс вращения монеты Это противоречащее интуиции наблюдение, что, когда одна монета катится по краю другой монеты того же размера, движущаяся монета совершает два полных оборота после полного обхода неподвижной монеты.[1]

Описание

Начнем с двух одинаковых монеты касаясь друг друга на столе, их «головные» стороны параллельны друг другу. Удерживая монету A неподвижно, поверните монету B вокруг A, удерживая точку контакта без проскальзывания. Когда монета B достигнет противоположной стороны, две головы снова будут параллельны; B совершил один оборот. Продолжение движения B возвращает его в исходное положение и завершает второй оборот. Как ни парадоксально, монета B катилась на расстояние, равное удвоенной длине ее окружности.

Когда монета B вращается, каждая точка на ее периметре описывает (движется через) a кардиоидный изгиб.

Сравнение

Катящаяся монета участвует в двух отдельных движениях, как Луна относительно Земли (за исключением того, что Луна совершает только один оборот примерно каждые 28 дней). Луна вращается один раз, вращаясь по эллиптической траектории относительно истинного севера, в то время как движущаяся монета вращается дважды, когда она вращается вокруг центра другой (неподвижной) монеты.

Скольжение по кругу без вращения

Анализ и решение

От начала до конца центр движущейся монеты движется по круговой траектории. Край неподвижной монеты и указанная траектория образуют две концентрические окружности. Радиус пути в два раза больше радиуса монеты. Следовательно, длина окружности дорожки в два раза больше длины окружности монеты.[2] Чтобы полностью обойти неподвижную монету, центр движущейся монеты должен пройти вдвое больше окружности монеты. Насколько движущаяся монета вращается вокруг своего центра в пути, если таковая имеется, или в каком направлении - по часовой стрелке, против часовой стрелки или в каком-то из двух направлений - не влияет на длину пути. То, что монета вращается дважды, как описано выше, и фокусировка на краю движущейся монеты, когда она касается неподвижной монеты, отвлекают.

Неравные радиусы и другие формы

Визуализация для монет неравного радиуса (анимация)

Монета радиуса р катится по одному радиусу р делает R / R + 1 оборот.[3]Это потому, что центр катящейся монеты движется по круговой траектории с радиусом (или окружностью) (R + r) / г = R / R +1 умноженный на собственный радиус (или длину окружности). В предельном случае, когда р = 0, монета радиусом р составляет 0 /р + 1 = 1 простой оборот вокруг своей нижней точки.

В примере на рисунке р = 3р. На рисунке 1 с р выпрямленным, количество оборотов (количество раз, когда стрелка указывает вверх) равно R / R = 3. На рисунке 2 как р был восстановлен в круг, монета совершает дополнительный поворот, давая R / R + 1 = 4.

1 мая 1982 г. СИДЕЛ был вопрос, касающийся этой проблемы, и из-за человеческой ошибки его пришлось пересмотреть после того, как 3 студента доказали, что среди вариантов нет правильного ответа.[4]

Форма, вокруг которой катится монета, не обязательно должна быть кругом: одно дополнительное вращение добавляется к отношению их периметров, если оно есть. простой многоугольник или замкнутая кривая, которая не пересекает себя. Если форма сложный, количество оборотов добавлено (или вычтено, если монета катится внутри кривой) является абсолютным значением ее номер поворота.

Рекомендации

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Монетный парадокс». MathWorld.
  2. ^ Букет, Брайан Х. (1982). Математические заблуждения и парадоксы. Ван Ностранд Рейнхольд. С. 10–11. ISBN  0-442-24905-5.
  3. ^ Математическая задача о двух кругах
  4. ^ https://www.nytimes.com/1982/05/25/us/error-found-in-sat-question.html

внешняя ссылка

Этот ответ, за который проголосовали, включает в себя анимацию и интуитивно понятные объяснения исходного вопроса, где r «внешней монеты» составляло 1/3 радиуса внутренней монеты.

Смотрите также