Кокуртоз - Cokurtosis

В теория вероятности и статистика, кокуртоз является мерой того, насколько две случайные величины изменяются вместе. Кокуртоз - четвертый стандартизированный крест центральный момент.^[1] Если две случайные величины демонстрируют высокий уровень кокуртоза, они будут иметь тенденцию одновременно претерпевать крайние положительные и отрицательные отклонения.

Определение

Для двух случайные переменные Икс и Y есть три нетривиальных статистики кокуртоза^[1]^[2]

{ Displaystyle К (Икс, Х, Х, Y) = { OperatorName {E} {{ big [} (X- operatorname {E} [X]) ^ {3} (Y- operatorname {E} [Y]) { big]}} over sigma _ {X} ^ {3} sigma _ {Y}},}

{ Displaystyle К (Икс, Х, Y, Y) = { OperatorName {E} {{ big [} (X- operatorname {E} [X]) ^ {2} (Y- operatorname {E} [Y]) ^ {2} { big]}} over sigma _ {X} ^ {2} sigma _ {Y} ^ {2}},}

и

{ Displaystyle К (X, Y, Y, Y) = { OperatorName {E} {{ big [} (X- OperatorName {E} [X]) (Y- OperatorName {E} [Y]) ^ {3} { big]}} over sigma _ {X} sigma _ {Y} ^ {3}},}

где E [Икс] это ожидаемое значение из Икс, также известный как среднее значение Икс, и ${ displaystyle sigma _ {X}}$ это стандартное отклонение изИкс.

Характеристики

Эксцесс является частным случаем кокуртоза, когда две случайные величины идентичны:

{ Displaystyle К (Икс, Х, Х, Х) = { OperatorName {E} {{ big [} (X- OperatorName {E} [X]) ^ {4} { big]}} над sigma _ {X} ^ {4}} = { operatorname {kurtosis} { big [} X { big]}},}

Для двух случайных величин Икс и Y, то эксцесс суммы, Икс + Y, является

{ displaystyle { begin {align} K_ {X + Y} = {1 over sigma _ {X + Y} ^ {4}} { big [} & sigma _ {X} ^ {4} K_ {X} +4 sigma _ {X} ^ {3} sigma _ {Y} K (X, X, X, Y) +6 sigma _ {X} ^ {2} sigma _ {Y} ^ {2} K (X, X, Y, Y) & {} + 4 sigma _ {X} sigma _ {Y} ^ {3} K (X, Y, Y, Y) + sigma _ {Y} ^ {4} K_ {Y} { big]}, end {align}}}

куда

{ displaystyle K_ {X}}

это эксцесс из Икс и

{ displaystyle sigma _ {X}}

это стандартное отклонение изИкс.

Отсюда следует, что сумма двух случайных величин может иметь эксцесс, отличный от 3 ( ${ displaystyle K_ {X + Y} neq 3}$ ), даже если обе случайные величины изолированно имеют эксцесс 3 ( ${ displaystyle K_ {X} = 3}$ и ${ displaystyle K_ {Y} = 3}$ ).
Кокуртоз между переменными Икс и Y не зависит от масштаба, в котором выражены переменные. Если мы анализируем взаимосвязь между Икс и Y, кокуртоз между Икс и Y будет таким же, как и кокуртоз между а + bX и c + dY, куда а, б, c и d являются константами.

Примеры

Двумерное нормальное распределение

Позволять Икс и Y каждый будет нормально распространяться с коэффициент корреляции р. Условия кокуртоза:

{ Displaystyle К (X, X, Y, Y) = 1 + 2 rho ^ {2}}

{ Displaystyle К (Икс, Х, Х, Y) = К (X, Y, Y, Y) = 3 rho}

Поскольку кокуртоз зависит только от ρ, который уже полностью определяется ковариационной матрицей более низкой степени, кокуртоз двумерного нормального распределения не содержит новой информации о распределении. Однако это удобная ссылка для сравнения с другими дистрибутивами.

Нелинейно коррелированные нормальные распределения

Позволять Икс быть стандартным, нормально распределенным и Y быть распределением, полученным путем установки Икс=Y в любое время Икс<0 и рисунок Y независимо от стандарта полунормальное распределение в любое время Икс> 0. Другими словами, Икс и Y оба стандартно нормально распределены со свойством, что они полностью коррелированы для отрицательных значений и некоррелированы, кроме знака для положительных значений. Совместная функция плотности вероятности

{ displaystyle f_ {X, Y} (x, y) = { frac {e ^ {- x ^ {2} / 2}} { sqrt {2 pi}}} left (H (-x) delta (xy) + 2H (x) H (y) { frac {e ^ {- y ^ {2} / 2}} { sqrt {2 pi}}} right)}

куда ЧАС(Икс) это Ступенчатая функция Хевисайда и δ (Икс) это Дельта-функция Дирака. Четвертые моменты легко вычисляются интегрированием по этой плотности:

{ Displaystyle К (Х, Х, Y, Y) = 2}

{ displaystyle K (X, X, X, Y) = K (X, Y, Y, Y) = { frac {3} {2}} + { frac {2} { pi}} приблизительно 2,137 }

Полезно сравнить этот результат с тем, что было бы получено для обычного двумерного нормального распределения с обычной линейной корреляцией. Путем интегрирования по плотности получаем, что коэффициент линейной корреляции Икс и Y является

{ displaystyle rho = { frac {1} {2}} + { frac {1} { pi}} приблизительно 0,818}

Двумерное нормальное распределение с этим значением ρ будет иметь ${ Displaystyle К (X, X, Y, Y) приблизительно 2.455}$ и ${ Displaystyle К (X, X, X, Y) приблизительно 2,339}$ . Следовательно, все члены кокуртоза этого распределения с этой нелинейной корреляцией меньше, чем можно было бы ожидать от двумерного нормального распределения с ρ = 0,818.

Обратите внимание, что хотя Икс и Y индивидуально стандартно нормально распределены, распределение суммы Икс+Y платикуртика. Стандартное отклонение суммы составляет

{ displaystyle sigma _ {X + Y} = { sqrt {3 + { frac {2} { pi}}}}}

Вставляя это и отдельные значения кокуртоза в формулу суммы эксцесса выше, мы имеем

{ displaystyle K_ {X + Y} = { frac {2 pi (8 + 15 pi)} {(2 + 3 pi) ^ {2}}} приблизительно 2,654}

Это также можно вычислить непосредственно из функции плотности вероятности суммы:

{ displaystyle f_ {X + Y} (u) = { frac {e ^ {- u ^ {2} / 8}} {2 { sqrt {2 pi}}}} H (-u) + { frac {e ^ {- u ^ {2} / 4}} { sqrt { pi}}} operatorname {erf} left ({ frac {u} {2}} right) H (u) }

Смотрите также

дальнейшее чтение

Ранальдо, Анджело; Лоран Фавр (2005). «Как оценивать хедж-фонды: от двух- до четырех-моментного CAPM». Исследовательский документ UBS. SSRN 474561.
Кристи-Дэвид, Р .; М. Чаудри (2001). «Coskewness и Cokurtosis на фьючерсных рынках». Журнал эмпирических финансов. 8 (1): 55–81. Дои:10.1016 / s0927-5398 (01) 00020-2.

[miller-1] а ^б Миллер, Майкл Б. (2014). Математика и статистика для управления финансовыми рисками (2-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc. С. 53–56. ISBN 978-1-118-75029-2.

[2] Меуччи, Аттилио (2005). Распределение рисков и активов. Берлин: Springer-Verlag. С. 58–59. ISBN 978-3642009648.

[1]

[2]