Общий пространственный образец - Common spatial pattern

Общий пространственный образец (CSP) - математическая процедура, используемая в обработка сигналов для разделения многомерный сигнал в добавка подкомпоненты, которые имеют максимальные различия в отклонение между двумя окна.^[1]

Подробности

Позволять ${ displaystyle mathbf {X} _ {1}}$ размера ${ Displaystyle (п, т_ {1})}$ и ${ displaystyle mathbf {X} _ {2}}$ размера ${ Displaystyle (п, т_ {2})}$ быть двумя окнами многомерного сигнал, куда ${ displaystyle n}$ количество сигналов и ${ displaystyle t_ {1}}$ и ${ displaystyle t_ {2}}$ - соответствующее количество образцов.

Алгоритм CSP определяет компонент ${ displaystyle mathbf {w} ^ { text {T}}}$ такое, что соотношение отклонение (или второго порядка момент ) разворачивается между двумя окнами:

${ displaystyle mathbf {w} = { arg max} _ { mathbf {w}} { frac { left | mathbf {wX} _ {1} right | ^ {2}} { left | mathbf {wX} _ {2} right | ^ {2}}}}$

Решение дается путем вычисления двух ковариационные матрицы:

${ displaystyle mathbf {R} _ {1} = { frac { mathbf {X} _ {1} mathbf {X} _ {1} ^ { text {T}}} {t_ {1}} }}$

${ displaystyle mathbf {R} _ {2} = { frac { mathbf {X} _ {2} mathbf {X} _ {2} ^ { text {T}}} {t_ {2}} }}$

Затем одновременная диагонализация из этих двух матрицы (также называемый обобщенное разложение на собственные значения ) реализовано. Находим матрицу собственные векторы ${ displaystyle mathbf {P} = { begin {bmatrix} mathbf {p} _ {1} & cdots & mathbf {p} _ {n} end {bmatrix}}}$ и диагональная матрица ${ displaystyle mathbf {D}}$ из собственные значения ${ displaystyle { lambda _ {1}, cdots, lambda _ {n} }}$ отсортированы в порядке убывания, так что:

${ Displaystyle mathbf {P} ^ { mathrm {T}} mathbf {R} _ {1} mathbf {P} = mathbf {D}}$

и

${ Displaystyle mathbf {P} ^ { mathrm {T}} mathbf {R} _ {2} mathbf {P} = mathbf {I} _ {n}}$

с ${ displaystyle mathbf {I} _ {n}}$ то единичная матрица.

Это эквивалентно собственное разложение из ${ Displaystyle mathbf {R} _ {2} ^ {- 1} mathbf {R} _ {1}}$:

${ Displaystyle mathbf {R} _ {2} ^ {- 1} mathbf {R} _ {1} = mathbf {PDP} ^ {- 1}}$

${ displaystyle mathbf {w} ^ { text {T}}}$ будет соответствовать первому столбцу ${ displaystyle mathbf {P}}$:

${ displaystyle mathbf {w} = mathbf {p} _ {1} ^ { text {T}}}$

Обсуждение

Связь между коэффициентом дисперсии и собственным значением

Собственные векторы, составляющие ${ displaystyle mathbf {P}}$ компоненты с отношением дисперсии между двумя окнами, равным их соответствующему собственному значению:

${ displaystyle mathbf { lambda} _ {i} = { frac { left | mathbf {p} _ {i} ^ { text {T}} mathbf {X} _ {1} right | ^ {2}} { left | mathbf {p} _ {i} ^ { text {T}} mathbf {X} _ {2} right | ^ {2}}}}$

Прочие компоненты

В векторное подпространство ${ displaystyle E_ {i}}$ генерируется ${ displaystyle i}$ первые собственные векторы ${ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {p} _ {1} & cdots & mathbf {p} _ {i} end {bmatrix}}}$ будет подпространством, максимизирующим коэффициент дисперсии всех принадлежащих ему компонентов:

${ displaystyle E_ {i} = { arg max} _ {E} { begin {pmatrix} min _ {p in E} { frac { left | mathbf {p ^ { text { T}} X} _ {1} right | ^ {2}} { left | mathbf {p ^ { text {T}} X} _ {2} right | ^ {2}} } end {pmatrix}}}$

Точно так же векторное подпространство ${ displaystyle F_ {j}}$ генерируется ${ displaystyle j}$ последние собственные векторы ${ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {p} _ {n-j + 1} & cdots & mathbf {p} _ {n} end {bmatrix}}}$ будет подпространством, минимизирующим коэффициент дисперсии всех принадлежащих ему компонентов:

${ Displaystyle F_ {J} = { arg min} _ {F} { begin {pmatrix} max _ {p in F} { frac { left | mathbf {p ^ { text { T}} X} _ {1} right | ^ {2}} { left | mathbf {p ^ { text {T}} X} _ {2} right | ^ {2}} } end {pmatrix}}}$

Дисперсия или момент второго порядка

CSP может применяться после иметь в виду вычитание (также известное как «среднее центрирование») сигналов с целью реализации оптимизации отношения дисперсии. В противном случае CSP оптимизирует коэффициент момента второго порядка.

Выбор windows X₁ и X₂

• Стандартное использование заключается в выборе окон, соответствующих двум периодам времени с разной активацией источников (например, во время отдыха и во время определенной задачи).
• Также можно выбрать два окна, соответствующие двум разным частотным диапазонам, чтобы найти компоненты с определенным частотным шаблоном.^[2] Эти полосы частот могут быть временными или частотными. Поскольку матрица ${ displaystyle mathbf {P}}$ зависит только от ковариационных матриц, те же результаты могут быть получены, если обработка применяется к преобразование Фурье сигналов.
• Ю. Ван ^[3] предложил конкретный выбор для первого окна ${ displaystyle mathbf {X} _ {1}}$ для извлечения компонентов, имеющих определенный период. ${ displaystyle mathbf {X} _ {1}}$ было средним значением различных периодов для исследуемых сигналов.
• Если есть только одно окно, ${ displaystyle mathbf {R} _ {2}}$ можно рассматривать как единичную матрицу, и тогда CSP соответствует Анализ главных компонентов.

Приложения

Этот метод можно применить к нескольким многомерным сигналам, но похоже, что большинство из них касается электроэнцефалографический сигналы.

В частности, метод в основном используется на интерфейс мозг-компьютер для извлечения компонентов сигналов, которые лучше всего передают мозговую активность для конкретной задачи (например, движения руки).^[4]

Его также можно использовать для отделения артефактов от электроэнцефалографических сигналов.^[2]

Общая пространственная картина должна быть адаптирована для анализа связанные с событиями потенциалы.^[5]

Смотрите также

• Слепое разделение сигналов

Рекомендации