Конус (формальные языки) - Cone (formal languages)

В формальная теория языка, а конус это набор формальные языки что есть некоторые желанные закрытие свойства, которыми обладают некоторые известные наборы языков, в частности, семейства обычные языки, контекстно-свободные языки и рекурсивно перечислимые языки.^[1] Концепция конуса - более абстрактное понятие, которое включает все эти семейства. Аналогичное понятие верный конус, имея несколько расслабленные условия. Например, контекстно-зависимые языки не образуют конуса, но все же обладают необходимыми свойствами для формирования точного конуса.

Терминология конус имеет французское происхождение. В американской ориентированной литературе обычно говорят о полное трио. В трио соответствует верному конусу.

Определение

Конус - это семья ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ языков, таких что ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ содержит хотя бы один непустой язык, и для любого ${ displaystyle L in { mathcal {S}}}$ над некоторым алфавитом ${ displaystyle Sigma}$,

• если ${ displaystyle h}$ это гомоморфизм от ${ displaystyle Sigma ^ { ast}}$ некоторым ${ displaystyle Delta ^ { ast}}$, язык ${ displaystyle h (L)}$ в ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$;
• если ${ displaystyle h}$ является гомоморфизмом некоторого ${ displaystyle Delta ^ { ast}}$ к ${ displaystyle Sigma ^ { ast}}$, язык ${ displaystyle h ^ {- 1} (L)}$ в ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$;
• если ${ displaystyle R}$ какой-либо регулярный язык больше ${ displaystyle Sigma}$, тогда ${ Displaystyle L cap R}$ в ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$.

Семейство всех регулярных языков содержится в любом конусе.

Если ограничить определение гомоморфизмами, которые не вводят пустое слово ${ displaystyle lambda}$ тогда говорят о верный конус; обратные гомоморфизмы не ограничены. В рамках Иерархия Хомского, обычные языки, контекстно-свободные языки и рекурсивно перечислимые языки все являются конусами, тогда как контекстно-зависимые языки и рекурсивные языки - только точные конусы.

Отношение к преобразователям

А конечный преобразователь - конечный автомат, имеющий как вход, так и выход. Он определяет трансдукцию ${ displaystyle T}$, отображение языка ${ displaystyle L}$ над входным алфавитом на другой язык ${ Displaystyle T (L)}$ над выходным алфавитом. Каждая из операций конуса (гомоморфизм, обратный гомоморфизм, пересечение с регулярным языком) может быть реализована с помощью преобразователя конечного состояния. И, поскольку преобразователи с конечным числом состояний закрыты относительно композиции, каждая последовательность операций конуса может выполняться преобразователем с конечным числом состояний.

И наоборот, каждое преобразование конечного состояния ${ displaystyle T}$ можно разложить на операции конуса. На самом деле для этого разложения существует нормальная форма:^[2] который широко известен как Теорема Нивата:^[3]А именно каждый такой ${ displaystyle T}$ можно эффективно разложить как${ Displaystyle Т (L) = г (час ^ {- 1} (L) крышка R)}$, где ${ displaystyle g, h}$ гомоморфизмы, а ${ displaystyle R}$ является обычным языком и зависит только от ${ displaystyle T}$.

В целом это означает, что семейство языков является конусом тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно преобразований конечного состояния. Это очень мощный набор операций. Например, легко написать (недетерминированный) преобразователь конечного состояния с алфавитом ${ Displaystyle {а, Ь }}$ что удаляет каждую секунду ${ displaystyle b}$ в словах четной длины (и не меняет слов в противном случае). Поскольку контекстно-свободные языки образуют конус, они закрываются при этой экзотической операции.

Смотрите также

• Абстрактная семья языков

Заметки

использованная литература

• Гинзбург, Сеймур; Грейбах, Шейла (1967). «Абстрактные семейства языков». Протокол конференции 1967 г. восьмого ежегодного симпозиума по теории коммутации и автоматов, 18–20 октября 1967 г., Остин, Техас, США. IEEE. С. 128–139.

• Ниват, Морис (1968). "Transductions des langages de Chomsky". Annales de l'Institut Fourier. 18 (1): 339–455. Дои:10.5802 / aif.287.
• Сеймур Гинзбург, Алгебраические и теоретико-автоматные свойства формальных языков, Северная Голландия, 1975 г., ISBN  0-7204-2506-9.
• Джон Э. Хопкрофт и Джеффри Д. Уллман, Введение в теорию автоматов, языки и вычисления, Addison-Wesley Publishing, Reading Massachusetts, 1979. ISBN  0-201-02988-X. Глава 11: Замыкающие свойства семейств языков.
• Матееску, Александру; Саломаа, Арто (1997). «Глава 4: Аспекты теории классического языка». В Розенберге, Гжегоже; Саломаа, Арто (ред.). Справочник формальных языков. Том I: Слово, язык, грамматика. Springer-Verlag. С. 175–252. ISBN  3-540-61486-9.

внешние ссылки

• Энциклопедия математики: Трио, Springer.