Непрерывное групповое действие - Википедия - Continuous group action

В топология, а непрерывное групповое действие на топологическое пространство Икс это групповое действие из топологическая группа грамм что непрерывно: т. е.

{ Displaystyle G раз X к X, quad (g, x) mapsto g cdot x}

является непрерывным отображением. Вместе с групповым действием, Икс называется грамм-Космос.

Если ${ displaystyle f: H to G}$ является непрерывным групповым гомоморфизмом топологических групп и если Икс это грамм-пространство, то ЧАС может действовать на Икс по ограничению: ${ Displaystyle ч cdot х = е (ч) х}$ , изготовление Икс а ЧАС-Космос. Часто ж является либо включением, либо фактор-отображением. В частности, любое топологическое пространство можно рассматривать как грамм-пространство через ${ displaystyle G to 1}$ (и грамм будет действовать банально.)

Две основные операции - это взятие пространства точек, фиксированных подгруппой ЧАС и формирование частного по ЧАС. Мы пишем ${ displaystyle X ^ {H}}$ для набора всех Икс в Икс такой, что ${ displaystyle hx = x}$ . Например, если мы напишем ${ Displaystyle F (X, Y)}$ для множества непрерывных отображений из грамм-Космос Икс другому грамм-Космос Y, то с действием ${ Displaystyle (г CDOT F) (х) = гф (г ^ {- 1} х)}$ , ${ Displaystyle F (X, Y) ^ {G}}$ состоит из ж такой, что ${ Displaystyle f (gx) = gf (x)}$ ; т.е. ж является эквивариантное отображение. Мы пишем ${ Displaystyle F_ {G} (X, Y) = F (X, Y) ^ {G}}$ . Обратите внимание, например, для грамм-Космос Икс и замкнутая подгруппа ЧАС, ${ Displaystyle F_ {G} (G / H, X) = X ^ {H}}$ .