Угловая передаточная матрица - Corner transfer matrix

В статистическая механика, то матрица переноса угла описывает эффект добавления квадранта к решетке. Представлен Родни Бакстер в 1968 году как расширение матрицы переноса строк Крамерса-Ваннье, он обеспечивает мощный метод изучения решетчатые модели. Расчеты с использованием угловых передаточных матриц привели Бакстера к точному решению модель жесткого шестиугольника в 1980 г.

Определение

Рассмотрим модель IRF (взаимодействие-круглое лицо), т.е. модель квадратной решетки с вращение σ_я назначен каждому сайту я и взаимодействия, ограниченные вращениями вокруг общего лица. Пусть полная энергия определяется выражением

${displaystyle E = sum _ {все на верхних гранях} epsilon left (sigma _ {i}, sigma _ {j}, sigma _ {k}, sigma _ {l} ight),}$

где для каждого лица окружающие участки я, j, k и л расположены следующим образом:

Для решетки с N сайты, функция распределения является

${displaystyle Z_ {N} = sum _ {все спины на вершине} prod _ {все на гранях} wleft (сигма _ {i}, сигма _ {j}, сигма _ {k}, сигма _ {l} ight),}$

где сумма берется по всем возможным конфигурациям спинов и ш - вес Больцмана

${displaystyle wleft (sigma _ {i}, sigma _ {j}, sigma _ {k}, sigma _ {l} ight) = exp left (-epsilon left (sigma _ {i}, sigma _ {j}, sigma _ {k}, sigma _ {l} ight) / k_ {B} Tight).}$

Для упрощения обозначений мы используем ферромагнитная решетка типа Изинга где каждый спин имеет значение +1 или -1, а основное состояние задается всеми спинами вверх (т.е. полная энергия минимизируется, когда все спины на решетке имеют значение +1). Мы также предполагаем, что решетка имеет 4-кратную вращательную симметрию (с точностью до граничных условий) и инвариантна к отражению. Эти упрощающие предположения не имеют решающего значения, и распространить определение на общий случай относительно просто.

Теперь рассмотрим квадрант решетки, показанный ниже:

Внешним граничным узлам, отмеченным треугольниками, присваиваются их спины основного состояния (+1 в данном случае). Участки, отмеченные светлыми кружками, образуют внутренние границы квадранта; связанные с ними спиновые множества помечены {σ₁, ..., σ_м} и {σ '₁, ..., σ '_м}, где σ₁ = σ '₁. Есть 2^м возможных конфигураций для каждой внутренней границы, поэтому мы определяем 2^м×2^м матрица по элементам

${displaystyle A_ {sigma | sigma '} = дельта влево (sigma _ {1}, sigma _ {1}' ight) sum _ {внутреннее наверху вращение} prod _ {все на верхних гранях} wleft (sigma _ {i}, sigma _ {j}, sigma _ {k}, sigma _ {l} ight).}$

Матрица А, тогда - матрица переноса угла для данного квадранта решетки. Поскольку внешние граничные спины фиксированы и сумма рассчитывается по всем внутренним спинам, каждая запись А является функцией спинов внутренней границы. Дельта Кронекера в выражении гарантирует, что σ₁ = σ '₁, поэтому, заказав конфигурации соответствующим образом, мы можем отлить А в виде блочно-диагональной матрицы:

${displaystyle {egin {array} {cccc} && {egin {array} {ccccc} sigma _ {1} '= + 1 &&&& sigma _ {1}' = - 1end {array}} A & = & left [{egin {array} {ccccccc} &&& | & A _ {+} && | && 0 &&& | - & - & - & | & - & - & - &&& | & 0 && | && A _ {-} &&& | end {array}} ight] & {egin {array} {c} sigma _ {1} = + 1 sigma _ {1} = - 1end {array}} end {array}}}$

Матрицы углового переноса связаны со статистической суммой просто. В нашем упрощенном примере мы строим полную решетку из четырех повернутых копий квадранта решетки, где внутренние граничные спиновые множества σ, σ ', σ "и σ'" могут различаться:

Статистическая сумма затем записывается в терминах матрицы передачи угла А в качестве

${displaystyle Z_ {N} = sum _ {sigma, sigma ', sigma' ', sigma' ''} A_ {sigma | sigma '} A_ {sigma' | sigma ''} A_ {sigma '' | sigma '' ' } A_ {sigma '' '| sigma} = {extrm {tr}} A ^ {4}.}$

Обсуждение

Отношение рекурсии

Матрица углового переноса А_2^м (определено для м×м квадрант) может быть выражен через меньшие угловые передаточные матрицы А_2^м-1 и А_2^м-2 (определено для уменьшенного (м-1)×(м-1) и (м-2)×(м-2) квадранты соответственно). Это рекурсивное соотношение позволяет, в принципе, итеративное вычисление матрицы переноса угла для любого квадранта решетки конечного размера.

Как и их аналоги из строки в строку, матрицы переноса углов могут быть разложены на матрицы переноса граней, которые соответствуют добавлению одной грани к решетке. Для приведенного ранее квадранта решетки матрицы переноса лиц имеют размер 2^м×2^м и определяется по входам

${displaystyle left (U_ {i} ight) _ {sigma | sigma '} = delta left (sigma _ {1}, sigma _ {1}' ight) cdots delta left (sigma _ {i-1}, sigma _ { i-1} 'ight) wleft (sigma _ {i}, sigma _ {i + 1}, sigma _ {i}', sigma _ {i-1} ight) delta left (sigma _ {i + 1}, sigma _ {i + 1} 'ight) cdots delta left (sigma _ {m}, sigma _ {m}' ight),}$

где 2 ≤ я ≤ м+1. В частности, около внешней границы

${displaystyle left (U_ {m} ight) _ {sigma | sigma '} = delta left (sigma _ {1}, sigma _ {1}' ight) cdots delta left (sigma _ {m-1}, sigma _ { m-1} 'ight) wleft (sigma _ {m}, + 1, sigma _ {m}', sigma _ {m-1} ight),}$

${displaystyle left (U_ {m + 1} ight) _ {sigma | sigma '} = delta left (sigma _ {1}, sigma _ {1}' ight) cdots delta left (sigma _ {m}, sigma _ { m} 'ight) wleft (+ 1, + 1, + 1, sigma _ {m} ight).}$

Итак, угловая матрица переноса А факторизуется как

${displaystyle A = F_ {2} cdots F_ {m + 1},}$

куда

${displaystyle F_ {j} = U_ {m + 1} cdots U_ {j}.}$

Графически это соответствует:

Нам также потребуется 2^м×2^м матрицы А* и А**, определено для каждой записи

${displaystyle left (A ^ {*} ight) _ {sigma | sigma '} = delta left (sigma _ {1}, sigma _ {1}' ight) A_ {sigma _ {2}, ldots, sigma _ {m } | сигма _ {2} ', ldots, sigma _ {m}'},}$

${displaystyle left (A ^ {**} ight) _ {sigma | sigma '} = delta left (sigma _ {1}, sigma _ {1}' ight) delta left (sigma _ {2}, sigma _ {2) } 'ight) A_ {sigma _ {3}, ldots, sigma _ {m} | sigma _ {3}', ldots, sigma _ {m} '},}$

где А матрицы, элементы которых появляются на правой стороне, имеют размер 2^м-1×2^м-1 и 2^м-2×2^м-2 соответственно. Это более четко записано как

${displaystyle A ^ {*} = I_ {2} иногда A_ {2 ^ {m-1}} = left [{egin {array} {cc} A & 0 0 & Aend {array}} ight],}$

${displaystyle A ^ {**} = I_ {2} otimes I_ {2} otimes A_ {2 ^ {m-2}} = left [{egin {array} {cccc} A & 0 & 0 & 0 0 & A & 0 & 0 0 & 0 & A & 0 0 & 0 & 0 & Aend {array} } ight].}$

Теперь из определений А, А*, А**, U_я и F_j, у нас есть

${displaystyle A ^ {*} = F_ {3} cdots F_ {m + 1}, A ^ {**} = F_ {4} cdots F_ {m + 1}}$

${displaystyle Rightarrow A = F_ {2} A ^ {*}, A ^ {*} = F_ {3} A ^ {**}}$

${displaystyle Rightarrow A = A ^ {*} влево (A ^ {**} ight) ^ {- 1} U_ {2} A ^ {*},}$

что дает рекурсивное соотношение для А_2^м с точки зрения А_2^м-1 и А_2^м-2.

Диагональная форма

При использовании угловых передаточных матриц для выполнения расчетов, как аналитически, так и численно удобно работать с их диагональными формами. Для облегчения этого рекурсивное отношение можно переписать непосредственно в терминах диагональные формы и матрицы собственных векторов из А, А* и А**.

Напомним, что решетка в нашем примере инвариантна к отражению в том смысле, что

${displaystyle wleft (sigma _ {i}, sigma _ {j}, sigma _ {k}, sigma _ {l} ight) = wleft (sigma _ {k}, sigma _ {j}, sigma _ {i}, sigma _ {l} ight) = wleft (sigma _ {i}, sigma _ {l}, sigma _ {k}, sigma _ {j} ight),}$

Мы видим, что А является симметричной матрицей (т.е. диагонализируется ортогональная матрица ). Итак, мы пишем

${displaystyle A = alpha _ {m} PA_ {d} P ^ {T},}$

куда А_d - диагональная матрица (нормализованная так, что ее наибольший числовой элемент равен 1), α_м - наибольшее собственное значение А, и п^Тп = я. Аналогично для А* и А**, у нас есть

${displaystyle A ^ {*} = alpha _ {m-1} P ^ {*} A_ {d} ^ {*} left (P ^ {*} ight) ^ {T},}$

${displaystyle A ^ {**} = alpha _ {m-2} P ^ {**} A_ {d} ^ {**} left (P ^ {**} ight) ^ {T},}$

куда А_d*, А_d**, п* и п** определены аналогично А* и А**, то есть через меньшие (нормированные) диагональные формы и (ортогональные) матрицы собственных векторов А_2^м-1 и А_2^м-2.

Подставляя эти диагонализации в рекурсивное соотношение, получаем

${displaystyle A_ {t} = каппа RA_ {d} R ^ {T},}$

куда

${displaystyle kappa = {frac {alpha _ {m} alpha _ {m-2}} {alpha _ {m-1} ^ {2}}},}$

${displaystyle R = left (P ^ {*} ight) ^ {T} P,}$

${displaystyle A_ {t} = A_ {d} ^ {*} left (R ^ {*} ight) ^ {T} left (A_ {d} ^ {**} ight) ^ {- 1} U_ {2} R ^ {*} A_ {d} ^ {*}.}$

Сейчас же А_т также симметричен и может быть вычислен, если А_d*, А_d** и р* известны; диагонализация А_т то дает его нормализованную диагональную форму А_d, его наибольшее собственное значение κ, и его ортогональная матрица собственных векторов р.

Приложения

Величина ожидания вращения

Матрицы углового переноса (или их диагональные формы) могут использоваться для расчета таких величин, как вращение ожидаемое значение в определенном месте глубоко внутри решетки. Для полной решетки, данной ранее, математическое ожидание спина в центральном узле определяется выражением

${displaystyle leftlangle sigma _ {1} ightangle = {frac {1} {Z_ {N}}} sum _ {all attop spins} sigma _ {1} prod _ {all at top faces} wleft (sigma _ {i}, sigma _ {j}, sigma _ {k}, sigma _ {l} ight).}$

С такими заказанными конфигурациями, что А является блочно-диагональной, как и раньше, мы можем определить 2^м×2^м диагональная матрица

${displaystyle S = left [{egin {array} {cc} I & 0 0 & -Iend {array}} ight],}$

такой, что

${displaystyle leftlangle sigma _ {1} ightangle = {frac {{extrm {tr}} SA ^ {4}} {{extrm {tr}} A ^ {4}}} = {frac {{extrm {tr}} alpha _ {m} ^ {4} PSA ^ {4} P ^ {T}} {{extrm {tr}} alpha _ {m} ^ {4} PA ^ {4} P ^ {T}}} = {frac {{extrm {tr}} SA_ {d} ^ {4}} {{extrm {tr}} A_ {d} ^ {4}}}.}$

Функция разделения на сайт

Еще одна важная величина для решетчатых моделей - это статистическая сумма на узел, вычисляемая в термодинамический предел и написано как

${displaystyle kappa = lim _ {Nightarrow infty} влево (Z_ {N} ight) ^ {1 / N}.}$

В нашем примере это сводится к

${displaystyle kappa = lim _ {Nightarrow infty} влево (alpha _ {m} ^ {4} {extrm {tr}} A_ {d} ^ {4} ight) ^ {1 / N} sim alpha _ {m} ^ {4 / N},}$

поскольку тр А_d⁴ сходящаяся сумма как м → ∞ и А_d становится бесконечномерным. Кроме того, количество граней 2м(м+1) приближается к количеству сайтов N в термодинамическом пределе, поэтому имеем

${displaystyle alpha _ {m} sim kappa ^ {mleft (m + 1ight) / 2},}$

что согласуется с предыдущим уравнением, дающим κ как наибольшее собственное значение для А_т. Другими словами, статистическая сумма на узел задается точно диагонализованным рекурсивным соотношением для угловых матриц переноса в термодинамическом пределе; это позволяет κ быть приближенным с помощью итерационного процесса вычисления А_d для большой решетки.

Однако используемые матрицы экспоненциально растут в размере, и в реальных численных расчетах они должны быть усечены на каждом шаге. Один из способов сделать это - оставить п наибольшие собственные значения на каждом шаге для некоторых фиксированных п. В большинстве случаев последовательность приближений, полученная взятием п = 1,2,3, ... сходится быстро и к точному значению (для точно решаемой модели).

Смотрите также

• Трансферно-матричный метод

Рекомендации

• Бакстер Р. Дж. (1981), "Угловые передаточные матрицы", Physica A, 106 (1–2): 18–27, Bibcode:1981PhyA..106 ... 18B, Дои:10.1016 / 0378-4371 (81) 90203-X
• Бакстер, Р. Дж. (1982), Точно решенные модели в статистической механике, Лондон, Великобритания: Academic Press, ISBN  0-12-083180-5