Петля Костаса - Costas loop

А Петля Костаса это ФАПЧ Схема на основе (PLL), которая используется для перевозчик частота восстановление от подавленной несущей модуляция сигналы (например, двойныебоковая полоса подавленные сигналы несущей) и сигналы фазовой модуляции (например, БПСК, QPSK ). Это было изобретено Джон П. Костас в General Electric в 1950-е гг.^[1]^[2] Его изобретение было описано^[3] как оказавшие «глубокое влияние на современную цифровую связь». Основное применение петель Костаса - беспроводные приемники. Его преимущество перед другими детекторами на основе ФАПЧ состоит в том, что при небольших отклонениях напряжение ошибки контура Костаса составляет ${ Displaystyle грех (2 ( theta _ {я} - theta _ {f}))}$ по сравнению с ${ displaystyle sin ( theta _ {i} - theta _ {f})}$ . Это увеличивает вдвое чувствительность, а также делает петлю Костаса уникальной для отслеживания. С доплеровским сдвигом перевозчики, особенно в OFDM и Приемники GPS.^[3]

Классическая реализация

Петля Костаса работает в заблокированном состоянии.

В классической реализации петли Костаса^[4] местный генератор, управляемый напряжением (VCO) обеспечивает квадратура выходы, по одному на каждый из двух фазовые детекторы, например, детекторы продуктов. Та же фаза ввода сигнал также применяется к обоим фазовым детекторам и выходу каждого фазовый детектор проходит через фильтр нижних частот. Выходы этих фильтров нижних частот являются входами для другого фазового детектора, выход которого проходит через шумоподавляющий фильтр перед использованием для управления генератором, управляемым напряжением. Общий отклик контура контролируется двумя отдельными фильтрами нижних частот, которые предшествуют третьему фазовому детектору, в то время как третий фильтр нижних частот играет тривиальную роль с точки зрения усиления и запаса по фазе.

Приведенный выше рисунок петли Костаса нарисован в состоянии «заблокированного» состояния, когда частота ГУН и входящая несущая частота стали одинаковыми в результате процесса петли Костаса. Цифра не соответствует «разблокированному» состоянию.

Математические модели

Во временной области

Модель во временной области петли BPSK Костаса

В простейшем случае ${ Displaystyle м ^ {2} (т) = 1}$ . Следовательно, ${ Displaystyle м ^ {2} (т) = 1}$ не влияет на вход шумоподавляющего фильтра. Несущая и генератор, управляемый напряжением (VCO) сигналы представляют собой периодические колебания ${ displaystyle f_ {ref, vco} ( theta _ {ref, vco} (t))}$ с высокими частотами ${ displaystyle { dot { theta}} _ {ref, vco} (t)}$ .Блокировать ${ displaystyle bigotimes}$ является аналоговый умножитель.

С математической точки зрения линейный фильтр можно описать системой линейных дифференциальных уравнений

{ displaystyle { begin {array} {ll} { dot {x}} = Ax + bu_ {d} (t), & u_ {LF} = c ^ {*} x. end {array}}}

Вот, ${ displaystyle A}$ - постоянная матрица, ${ Displaystyle х (т)}$ - вектор состояния фильтра, ${ displaystyle b}$ и ${ displaystyle c}$ - постоянные векторы.

Модель ГУН обычно считается линейной.

{ displaystyle { begin {array} {ll} { dot { theta}} _ {vco} (t) = omega _ {vco} ^ {free} + K_ {vco} u_ {LF} (t) , & t in [0, T], end {array}}}

куда ${ displaystyle omega _ {vco} ^ {бесплатно}}$ - частота свободного хода генератора, управляемого напряжением, и ${ displaystyle K_ {vco}}$ - коэффициент усиления осциллятора. Аналогичным образом можно рассматривать различные нелинейные модели ГУН.

Предположим, что частота задающего генератора постоянна ${ displaystyle { dot { theta}} _ {ref} (t) Equiv omega _ {ref}.}$ Уравнение VCO и уравнение выхода фильтра

{ displaystyle { begin {array} {ll} { dot {x}} = Ax + bf_ {ref} ( theta _ {ref} (t)) f_ {vco} ( theta _ {vco} (т )), & { dot { theta}} _ {vco} = omega _ {vco} ^ {free} + K_ {vco} c ^ {*} x. end {array}}}

Система не автономна и достаточно сложна для исследования.

В фазово-частотной области

Эквивалентная фазово-частотная модель петли Костаса

Вход ГУН для модели фазо-частотной области петли Костаса

В простейшем случае, когда

{ displaystyle { begin {align} f_ {ref} { big (} theta _ {ref} (t) { big)} = cos { big (} omega _ {ref} t { big )}, f_ {vco} { big (} theta _ {vco} (t) { big)} & = sin { big (} theta _ {vco} (t) { big)} f_ {ref} { big (} theta _ {ref} (t) { big)} ^ {2} f_ {vco} left ( theta _ {vco} (t) right) f_ { vco} left ( theta _ {vco} (t) - { frac { pi} {2}} right) & = - { frac {1} {8}} { Big (} 2 sin (2 theta _ {vco} (t)) + sin (2 theta _ {vco} (t) -2 omega _ {ref} t) + sin (2 theta _ {vco} (t) +2 omega _ {ref} t) { Big)} end {align}}}

стандартное инженерное предположение состоит в том, что фильтр удаляет верхнюю боковую полосу с частотой из входа, но оставляет нижнюю боковую полосу без изменений. Таким образом, предполагается, что вход VCO ${ displaystyle varphi ( theta _ {ref} (t) - theta _ {vco} (t)) = { frac {1} {8}} sin (2 omega _ {ref} t-2 theta _ {vco} (t)).}$ Это делает цикл Костаса эквивалентным ФАПЧ с участием характеристика фазового детектора ${ Displaystyle varphi ( theta)}$ соответствующие конкретным формам волны ${ displaystyle f_ {ref} ( theta)}$ и ${ displaystyle f_ {vco} ( theta)}$ входных сигналов и сигналов ГУН. Можно доказать, что выходы фильтров во временной и фазово-частотной областях почти равны.^[5]^[6]^[7]

Таким образом, возможно^[8] изучить более простую автономную систему дифференциальных уравнений

{ displaystyle { begin {align} { dot {x}} & = Ax + b varphi ( Delta theta), Delta { dot { theta}} & = omega _ {vco} ^ {free} - omega _ {ref} + K_ {vco} c ^ {*} x, Delta theta & = theta _ {vco} - theta _ {ref}. end {выровнено} }}

.

В Метод усреднения Крылова – Боголюбова. позволяет доказать, что решения неавтономных и автономных уравнений близки при некоторых предположениях. Таким образом, блок-схема Петли Костаса во временном пространстве может быть асимптотически преобразована в блок-схему на уровне фазово-частотных соотношений.

Переход к анализу автономной динамической модели петли Костаса (вместо неавтономной) позволяет преодолеть трудности, связанные с моделированием петли Костаса во временной области, где необходимо одновременно наблюдать очень быструю временную шкалу входных сигналов. и медленная временная шкала фазы сигнала. Эта идея делает возможным^[9] для расчета основных характеристик производительности - диапазоны удержания, втягивания и блокировки.

Получение частоты

Петля Костаса перед синхронизацией

Петля Костаса после синхронизации

Сигналы несущей и VCO перед синхронизацией

Вход VCO во время синхронизации

Сигналы несущей и VCO после синхронизации

Классическая петля Костаса будет работать над тем, чтобы разность фаз между несущей и ГУН стала небольшой, в идеале нулевой величиной.^[10]^[11]^[12] Небольшая разность фаз означает, что синхронизация частоты была достигнута.

QPSK Петля Костаса

Классическая петля Костаса может быть адаптирована к QPSK модуляция для более высоких скоростей передачи данных.^[13]

Классическая петля QPSK Костаса

Вход QPSK сигнал выглядит следующим образом

{ displaystyle m_ {1} (t) cos left ( omega _ { text {ref}} t right) + m_ {2} (t) sin left ( omega _ { text {ref }} t right), m_ {1} (t) = pm 1, m_ {2} (t) = pm 1.}

Входы фильтров нижних частот LPF1 и LPF2 являются

{ Displaystyle { begin {align} varphi _ {1} (t) & = cos left ( theta _ { text {vco}} right) left (m_ {1} (t) cos left ( omega _ { text {ref}} t right) + m_ {2} (t) sin left ( omega _ { text {ref}} t right) right), varphi _ {2} (t) & = sin left ( theta _ { text {vco}} right) left (m_ {1} (t) cos left ( omega _ { text {ref}} t right) + m_ {2} (t) sin left ( omega _ { text {ref}} t right) right). end {align}}}

После синхронизации выходы LPF1 ${ Displaystyle Q (т)}$ и LPF2 ${ Displaystyle I (т)}$ используются для получения демодулированных данных ( ${ Displaystyle m_ {1} (т)}$ и ${ Displaystyle m_ {2} (т)}$ ). Чтобы отрегулировать частоту ГУН на сигналы опорных частот ${ Displaystyle Q (т)}$ и ${ Displaystyle I (т)}$ проходит через ограничители и перемножается:

{ displaystyle u_ {d} (t) = I (t) operatorname {sgn} (Q (t)) - Q (t) operatorname {sgn} (I (t)).}

После этого сигнала ${ Displaystyle и_ {д} (т)}$ фильтруется контурным фильтром и формирует сигнал настройки для VCO ${ Displaystyle и _ { текст {LF}} (т)}$ аналогично петле БПСК Костаса. Таким образом, QPSK Костаса можно описать^[14] по системе ODE

{ displaystyle { begin {align} { dot {x}} _ {1} & = A _ { text {LPF}} x_ {1} + b _ { text {LPF}} varphi _ {1} ( t), { dot {x}} _ {2} & = A _ { text {LPF}} x_ {2} + b _ { text {LPF}} varphi _ {2} (t), { dot {x}} & = A _ { text {LF}} x + b _ { text {LF}} left (c _ { text {LPF}} ^ {*} x_ {1} operatorname { sgn} left (c _ { text {LPF}} ^ {*} x_ {2} right) -c _ { text {LPF}} ^ {*} x_ {2} operatorname {sgn} left (c_ { text {LPF}} ^ {*} x_ {1} right) right), { dot { theta}} _ { text {vco}} & = omega _ { text {vco }} ^ { text {free}} + K _ { text {VCO}} left (c _ { text {LF}} ^ {*} x + h left (c _ { text {LPF}} ^ { *} x_ {1} operatorname {sgn} left (c _ { text {LPF}} ^ {*} x_ {2} right) -c _ { text {LPF}} ^ {*} x_ {2} operatorname {sgn} left (c _ { text {LPF}} ^ {*} x_ {1} right) right) right). конец {выровнено}}}

Здесь ${ displaystyle A _ { text {LPF}}, b _ { text {LPF}}, c _ { text {LPF}}}$ - параметры ФНЧ1 и ФНЧ2 и ${ displaystyle A _ { text {LF}}, b _ { text {LF}}, c _ { text {LF}}, h _ { text {LF}}}$ - параметры петлевого фильтра.

Рекомендации

^ Костас, Джон П. (1956). «Синхронные коммуникации». Труды IRE. 44 (12): 1713–1718. Дои:10.1109 / jrproc.1956.275063.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
^ Костас, Джон П. (август 2002 г.) [1956]. «Синхронные коммуникации». Труды IEEE. 90 (8): 1461–1466. Дои:10.1109 / JPROC.2002.800876.
^ ^а ^б Тейлор, Д. (август 2002 г.). «Введение в« синхронные коммуникации », классический доклад Джона П. Костаса». Труды IEEE. 90 (8): 1459–1460. Дои:10.1109 / jproc.2002.800719.
^ Фейгин, Джефф (1 января 2002 г.). «Практическая конструкция петли Костаса» (PDF). RF дизайн: 20–36. Архивировано из оригинал (PDF) 11 февраля 2012 г.. Получено 17 февраля, 2010.
^ Леонов, Г. А .; Кузнецов, Н. В .; Юлдашев, М. В .; Юлдашев Р.В. (август 2012 г.). «Дифференциальные уравнения петли Костаса» (PDF). Доклады Математики. 86 (2): 723–728. Дои:10.1134 / с1064562412050080.
^ Леонов, Г. А .; Кузнецов, Н. В .; Юлдашев, М. В .; Юлдашев, Р.В. (2012). «Аналитический метод расчета характеристики фазового детектора» (PDF). IEEE Transactions on Circuits and Systems Part II. 59 (10): 633–637. Дои:10.1109 / tcsii.2012.2213362.^{[постоянная мертвая ссылка ]}
^ Леонов, Г. А .; Кузнецов, Н. В .; Юлдашев, М. В .; Юлдашев Р.В. (2015). «Нелинейная динамическая модель петли Костаса и подход к анализу ее устойчивости в целом» (PDF). Обработка сигналов. Эльзевир. 108: 124–135. Дои:10.1016 / j.sigpro.2014.08.033.
^ Кузнецов, Н. В .; Леонов, Г. А .; Neittaanmaki, P .; Селеджи, С. М .; Юлдашев, М. В .; Юлдашев, Р.В. (2012). «Нелинейные математические модели петли Костаса для общей формы входного сигнала». 4-я Международная конференция IEEE по нелинейным наукам и сложности, NSC 2012 - Труды. IEEE Press (6304729): 75–80. Дои:10.1109 / NSC.2012.6304729. ISBN 978-1-4673-2703-9.
^ Кузнецов, Н. В .; Леонов, Г. А .; Селеджи, С. М .; Юлдашев, М. В .; Юлдашев, Р.В. (2017). «Нелинейная модель оптической петли Костаса: оценка дальности втягивания и скрытых колебаний». Документы IFACOnLine. Эльзевье. 50: 3325–3330. Дои:10.1016 / j.ifacol.2017.08.514. ISSN 2405-8963.
^ Костас 1956 утверждает: «Гетеродин должен поддерживаться в правильной фазе, чтобы вклады аудиовыхода верхней и нижней боковых полос усиливали друг друга. Если фаза генератора отклоняется на 90 ° от оптимального значения, в аудиовыходе будет ноль, что является типичным детекторов этого типа. Фактический метод контроля фазы будет объяснен в ближайшее время, но для целей этого обсуждения предполагается поддержание правильной фазы генератора ».
^ Использование контурного фильтра с интегратором позволяет получить нулевую стационарную фазовую ошибку. Увидеть ПИД-регулятор § Интегральный член.
^ Бест, Роланд Э. (1997). Петли с фазовой синхронизацией (третье изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 44–45. ISBN 0-07-006051-7.
^ Грант США 4 085 378, Карл Р. Райан и Джеймс Х. Стилвелл, "Демодулятор QPSK", опубликовано 26 ноября 1976 г., передано Motorola Solutions Inc.
^ Best, R.E .; Кузнецов, Н. В .; Леонов, Г. А .; Юлдашев, М. В .; Юлдашев Р.В. (2016). «Учебное пособие по динамическому анализу петли Костаса». Ежегодные обзоры под контролем. Эльзевье. 42: 27–49. arXiv:1511.04435. Дои:10.1016 / j.arcontrol.2016.08.003.

Эта статья включаетматериалы общественного достояния от Администрация общих служб документ: «Федеральный стандарт 1037С».

[1] Костас, Джон П. (1956). «Синхронные коммуникации». Труды IRE. 44 (12): 1713–1718. Дои:10.1109 / jrproc.1956.275063.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)

[2] Костас, Джон П. (август 2002 г.) [1956]. «Синхронные коммуникации». Труды IEEE. 90 (8): 1461–1466. Дои:10.1109 / JPROC.2002.800876.

[Taylor-3] а ^б Тейлор, Д. (август 2002 г.). «Введение в« синхронные коммуникации », классический доклад Джона П. Костаса». Труды IEEE. 90 (8): 1459–1460. Дои:10.1109 / jproc.2002.800719.

[4] Фейгин, Джефф (1 января 2002 г.). «Практическая конструкция петли Костаса» (PDF). RF дизайн: 20–36. Архивировано из оригинал (PDF) 11 февраля 2012 г.. Получено 17 февраля, 2010.

[5] Леонов, Г. А .; Кузнецов, Н. В .; Юлдашев, М. В .; Юлдашев Р.В. (август 2012 г.). «Дифференциальные уравнения петли Костаса» (PDF). Доклады Математики. 86 (2): 723–728. Дои:10.1134 / с1064562412050080.

[6] Леонов, Г. А .; Кузнецов, Н. В .; Юлдашев, М. В .; Юлдашев, Р.В. (2012). «Аналитический метод расчета характеристики фазового детектора» (PDF). IEEE Transactions on Circuits and Systems Part II. 59 (10): 633–637. Дои:10.1109 / tcsii.2012.2213362.^{[постоянная мертвая ссылка ]}

[7] Леонов, Г. А .; Кузнецов, Н. В .; Юлдашев, М. В .; Юлдашев Р.В. (2015). «Нелинейная динамическая модель петли Костаса и подход к анализу ее устойчивости в целом» (PDF). Обработка сигналов. Эльзевир. 108: 124–135. Дои:10.1016 / j.sigpro.2014.08.033.

[8] Кузнецов, Н. В .; Леонов, Г. А .; Neittaanmaki, P .; Селеджи, С. М .; Юлдашев, М. В .; Юлдашев, Р.В. (2012). «Нелинейные математические модели петли Костаса для общей формы входного сигнала». 4-я Международная конференция IEEE по нелинейным наукам и сложности, NSC 2012 - Труды. IEEE Press (6304729): 75–80. Дои:10.1109 / NSC.2012.6304729. ISBN 978-1-4673-2703-9.

[9] Кузнецов, Н. В .; Леонов, Г. А .; Селеджи, С. М .; Юлдашев, М. В .; Юлдашев, Р.В. (2017). «Нелинейная модель оптической петли Костаса: оценка дальности втягивания и скрытых колебаний». Документы IFACOnLine. Эльзевье. 50: 3325–3330. Дои:10.1016 / j.ifacol.2017.08.514. ISSN 2405-8963.

[10] Костас 1956 утверждает: «Гетеродин должен поддерживаться в правильной фазе, чтобы вклады аудиовыхода верхней и нижней боковых полос усиливали друг друга. Если фаза генератора отклоняется на 90 ° от оптимального значения, в аудиовыходе будет ноль, что является типичным детекторов этого типа. Фактический метод контроля фазы будет объяснен в ближайшее время, но для целей этого обсуждения предполагается поддержание правильной фазы генератора ».

[11] Использование контурного фильтра с интегратором позволяет получить нулевую стационарную фазовую ошибку. Увидеть ПИД-регулятор § Интегральный член.

[12] Бест, Роланд Э. (1997). Петли с фазовой синхронизацией (третье изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 44–45. ISBN 0-07-006051-7.

[13] Грант США 4 085 378, Карл Р. Райан и Джеймс Х. Стилвелл, "Демодулятор QPSK", опубликовано 26 ноября 1976 г., передано Motorola Solutions Inc.

[14] Best, R.E .; Кузнецов, Н. В .; Леонов, Г. А .; Юлдашев, М. В .; Юлдашев Р.В. (2016). «Учебное пособие по динамическому анализу петли Костаса». Ежегодные обзоры под контролем. Эльзевье. 42: 27–49. arXiv:1511.04435. Дои:10.1016 / j.arcontrol.2016.08.003.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]