Теорема Крамера (большие отклонения) - Википедия - Cramérs theorem (large deviations)

Теорема Крамера является фундаментальным результатом теория больших отклонений, субдисциплина теория вероятности. Он определяет функция оценки из серии iid случайные переменные Слабую версию этого результата впервые показал Харальд Крамер в 1938 г.

Заявление

Производящая функция логарифмического момента (которая является кумулянт -производящая функция) случайная переменная определяется как:

${ displaystyle Lambda (t) = log operatorname {E} [ exp (tX_ {1})].}$

Позволять ${ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, точки}$ быть последовательностью iid настоящий случайные переменные с производящей функцией конечного логарифмического момента, например ${ Displaystyle Lambda (т) < infty}$ для всех ${ Displaystyle т в mathbb {R}}$.

Тогда Преобразование Лежандра из ${ displaystyle Lambda}$:

${ Displaystyle Lambda ^ {*} (х): = sup _ {t in mathbb {R}} left (tx- Lambda (t) right)}$

удовлетворяет,

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} log left (P left ( sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} geq nx right) right) = - Lambda ^ {*} (x)}$

для всех ${ displaystyle x> operatorname {E} [X_ {1}].}$

В терминологии теории больших отклонений результат можно переформулировать следующим образом:

Если ${ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, точки}$ представляет собой серию iid случайных величин, то распределения ${ displaystyle left ({ mathcal {L}} ({ tfrac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}) right) _ {n in mathbb {N}}}$ удовлетворить принцип большого отклонения с функция оценки ${ displaystyle Lambda ^ {*}}$.

Рекомендации

• Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. стр.508. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
• "Теорема Крамера", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]