Функция оценки - Rate function

В математика - в частности, в теория больших отклонений - а функция оценки функция, используемая для количественной оценки вероятности редких событий. Требуется наличие нескольких свойств, которые помогают в формулировании принцип большого отклонения.^{[требуется разъяснение ]} В некотором смысле принцип больших отклонений является аналогом слабая сходимость вероятностных мер, но тот, который учитывает, насколько хорошо ведут себя редкие события.

А функция оценки также называется Функция Крамера, после шведского вероятностного Харальд Крамер.

Определения

Функция оценки An расширенный реальный функция я : Икс → [0, + ∞], определенные на Хаусдорф топологическое пространство Икс считается функция оценки если он не равен тождественно + ∞ и равен нижний полунепрерывный, т.е. все подуровневые множества

${displaystyle {xin Xmid I (x) leq c} {mbox {for}} cgeq 0}$

находятся закрыто в Икс. Если к тому же они компактный, тогда я считается хорошая функция оценки.

Семья вероятностные меры (μ_δ)_δ > 0 на Икс считается, что удовлетворяет принцип большого отклонения с функцией скорости я : Икс → [0, + ∞) (и ставка 1 ⁄δ) если для каждого замкнутого множества F ⊆ Икс и каждый открытый набор грамм ⊆ Икс,

${displaystyle limsup _ {delta downarrow 0} delta log mu _ {delta} (F) leq -inf _ {xin F} I (x), quad {mbox {(U)}}}$

${displaystyle liminf _ {delta downarrow 0} delta log mu _ {delta} (G) geq -inf _ {xin G} I (x) .quad {mbox {(L)}}}$

Если верхняя оценка (U) верна только для компактных (а не замкнутых) множеств F, тогда (μ_δ)_δ>0 считается, что удовлетворяет принцип слабых больших отклонений (со ставкой 1 ⁄δ и слабая функция скорости я).

Замечания

Роль открытого и замкнутого множеств в принципе больших уклонений аналогична их роли в слабой сходимости вероятностных мер: напомним, что (μ_δ)_δ > 0 говорят, что слабо сходится к μ если для каждого закрытого множества F ⊆ Икс и каждый открытый набор грамм ⊆ Икс,

${displaystyle limsup _ {delta downarrow 0} mu _ {delta} (F) leq mu (F),}$

${displaystyle liminf _ {delta downarrow 0} mu _ {delta} (G) geq mu (G).}$

Существуют некоторые вариации в номенклатуре, используемой в литературе: например, den Hollander (2000) использует просто «функцию оценки», а в этой статье - вслед за Dembo & Zeitouni (1998) - используются «функция хорошей ставки» и «функция слабой ставки». ". Независимо от номенклатуры, используемой для функций скорости, проверка того, должно ли неравенство верхней границы (U) выполняться для замкнутых или компактных множеств, показывает, является ли используемый принцип больших отклонений сильным или слабым.

Характеристики

Уникальность

Естественно задать вопрос, учитывая несколько абстрактную настройку общей схемы, приведенной выше, - уникальна ли функция скорости. Оказывается, это так: с учетом последовательности вероятностных мер (μ_δ)_δ>0 на Икс удовлетворяющий принципу больших отклонений для двух функций скорости я и J, следует, что я(Икс) = J(Икс) для всех Икс ∈ Икс.

Экспоненциальная герметичность

Слабый принцип больших уклонений можно превратить в сильный, если меры сходятся достаточно быстро. Если верхняя оценка верна для компактов F и последовательность мер (μ_δ)_δ>0 является экспоненциально плотный, то оценка сверху верна и для замкнутых множеств F. Другими словами, экспоненциальная герметичность позволяет преобразовать слабый принцип больших отклонений в сильный.

Непрерывность

Наивно, можно было бы попытаться заменить два неравенства (U) и (L) единственным требованием, чтобы для всех борелевских множеств S ⊆ Икс,

${displaystyle lim _ {delta downarrow 0} delta log mu _ {delta} (S) = - inf _ {xin S} I (x) .quad {mbox {(E)}}}$

Равенство (E) слишком ограничительно, так как многие интересные примеры удовлетворяют (U) и (L), но не (E). Например, мера μ_δ возможно неатомный для всех δ, поэтому равенство (E) могло выполняться для S = {Икс} только если я были тождественно + ∞, что не допускается в определении. Однако из неравенств (U) и (L) следует равенство (E) для так называемых я-прерывный наборы S ⊆ Икс, те, для которых

${displaystyle I {ig (} {stackrel {circ} {S}} {ig)} = I {ig (} {ar {S}} {ig)},}$

куда ${displaystyle {stackrel {circ} {S}}}$ и ${displaystyle {ar {S}}}$ обозначить интерьер и закрытие из S в Икс соответственно. Во многих примерах множество интересных наборов / событий я-непрерывный. Например, если я это непрерывная функция, то все наборы S такой, что

${displaystyle Ssubseteq {ar {stackrel {circ} {S}}}}$

находятся я-непрерывный; все открытые множества, например, удовлетворяют этому ограничению.

Трансформация принципов большого отклонения

Учитывая принцип большого отклонения в одном пространстве, часто представляет интерес возможность построить принцип большого отклонения в другом пространстве. В этой области есть несколько результатов:

• то принцип сжатия рассказывает, как принцип большого отклонения на одном участке "продвигается вперед" (через продвигать вероятностной меры) к принципу больших отклонений на другом пространстве через а непрерывная функция;
• то Теорема Доусона-Гертнера рассказывает, как последовательность принципов больших отклонений на последовательности пространств переходит в проективный предел.
• то наклонный принцип большого отклонения дает принцип больших уклонений для интегралов от экспоненциальной функционалы.
• экспоненциально эквивалентные меры имеют те же принципы больших отклонений.

История и основы развития

Понятие функции скорости появилось в 1930-х годах шведским математиком. Харальд Крамер изучение последовательности i.i.d. случайные переменные (Z_я)_i∈ℕ. А именно, среди некоторых соображений о масштабировании, Крамер изучал поведение распределения среднего ${displaystyle X_ {n} = {frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} Z_ {i}}$ в качестве п→∞.^[1] Он обнаружил, что хвосты распределения Икс_п экспоненциально затухать как е^{−nλ(Икс)} где фактор λ(Икс) в показателе экспоненты есть преобразование Лежандра – Фенхеля (также известное как выпуклый сопряженный ) из кумулянт -генерирующая функция ${displaystyle Psi _ {Z} (t) = log operatorname {E} e ^ {tZ}.}$ По этой причине эта конкретная функция λ(Икс) иногда называют Функция Крамера. Функция скорости, определенная выше в этой статье, является широким обобщением этого понятия Крамера, определенного более абстрактно на вероятностное пространство, а не пространство состояний случайной величины.

Смотрите также

• Теория экстремальных ценностей

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июнь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Рекомендации

• Дембо, Амир; Зейтуни, Офер (1998). Методы и приложения больших отклонений. Приложения математики (Нью-Йорк) 38 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. xvi + 396. ISBN  0-387-98406-2. МИСТЕР1619036
• ден Холландер, Франк (2000). Большие отклонения. Институт Филдса Монографии 14. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. х + 143. ISBN  0-8218-1989-5. МИСТЕР1739680