Принцип игры в кости - Craps principle

В теория вероятности, то принцип игры в кости это теорема о мероприятие вероятности при повторном iid испытания. Позволять ${displaystyle E_ {1}}$ и ${displaystyle E_ {2}}$ обозначить два взаимоисключающий события, которые могут произойти в данном судебном процессе. Тогда вероятность того, что ${displaystyle E_ {1}}$ происходит до ${displaystyle E_ {2}}$ равно условная возможность который ${displaystyle E_ {1}}$ происходит с учетом того, что ${displaystyle E_ {1}}$ или же ${displaystyle E_ {2}}$ происходят при следующем испытании, которое

${displaystyle operatorname {P} [E_ {1} ,, {ext {before}} ,, E_ {2}] = operatorname {P} left [E_ {1} mid E_ {1} cup E_ {2} ight] = {frac {имя оператора {P} [E_ {1}]} {имя оператора {P} [E_ {1}] + имя оператора {P} [E_ {2}]}}}$

События ${displaystyle E_ {1}}$ и ${displaystyle E_ {2}}$ не должно быть вместе исчерпывающей (если они есть, результат тривиальный).^[1][2]

Доказательство

Позволять ${displaystyle A}$ быть событием, которое ${displaystyle E_ {1}}$ происходит до ${displaystyle E_ {2}}$. Позволять ${displaystyle B}$ быть событием, что ни ${displaystyle E_ {1}}$ ни ${displaystyle E_ {2}}$ происходит в данном испытании. С ${displaystyle B}$, ${displaystyle E_ {1}}$ и ${displaystyle E_ {2}}$ находятся взаимоисключающий и вместе исчерпывающей для первого испытания у нас есть

${displaystyle operatorname {P} (A) = operatorname {P} (E_ {1}) operatorname {P} (Amid E_ {1}) + operatorname {P} (E_ {2}) operatorname {P} (Amid E_ { 2}) + имя оператора {P} (B) имя оператора {P} (на середине B) = имя оператора {P} (E_ {1}) + имя оператора {P} (B) имя оператора {P} (на середине B)}$

и ${displaystyle operatorname {P} (B) = 1-operatorname {P} (E_ {1}) - Operatorname {P} (E_ {2})}$. Поскольку испытания являются внутренними, мы имеем ${displaystyle operatorname {P} (на фоне B) = имя оператора {P} (A)}$. С помощью ${displaystyle operatorname {P} (A | E_ {1}) = 1, quad operatorname {P} (A | E_ {2}) = 0}$ и решая отображаемое уравнение для ${displaystyle operatorname {P} (A)}$ дает формулу

${displaystyle operatorname {P} (A) = {frac {operatorname {P} (E_ {1})} {operatorname {P} (E_ {1}) + operatorname {P} (E_ {2})}}}$.

Заявление

Если испытания являются повторением игры между двумя игроками, и события

${displaystyle E_ {1}: mathrm {победа игрока 1}}$

${displaystyle E_ {2}: mathrm {игрок 2 выигрывает}}$

тогда принцип крэпса дает соответствующие условные вероятности выигрыша каждого игрока в определенном повторении, учитывая, что кто-то выигрывает (т. е. учитывая, что рисовать не происходит). Фактически, на результат влияет только относительная предельная вероятность выигрыша. ${displaystyle operatorname {P} [E_ {1}]}$ и ${displaystyle operatorname {P} [E_ {2}]}$ ; в частности, вероятность ничьей не имеет значения.

Остановка

Если игра повторяется до тех пор, пока кто-то не выиграет, то указанная выше условная вероятность - это вероятность того, что игрок выиграет игру. Это проиллюстрировано ниже для оригинальной игры кости, используя альтернативное доказательство.

Пример кости

Если игра ведется кости, то этот принцип может значительно упростить вычисление вероятности выигрыша в определенном сценарии. В частности, если первый бросок - 4, 5, 6, 8, 9 или 10, то кубики повторно бросают до тех пор, пока не произойдет одно из двух событий:

${displaystyle E_ {1}: {ext {исходный бросок (называемый «точкой») выпадает (выигрыш)}}}$

${displaystyle E_ {2}: {ext {выпадает 7 (проигрыш)}}}$

С ${displaystyle E_ {1}}$ и ${displaystyle E_ {2}}$ являются взаимоисключающими, применяется принцип кости. Например, если исходный результат выпадал 4, то вероятность выигрыша равна

${displaystyle {frac {3/36} {3/36 + 6/36}} = {frac {1} {3}}}$

Это позволяет избежать суммирования бесконечная серия соответствующие всем возможным исходам:

${displaystyle sum _ {i = 0} ^ {infty} имя оператора {P} [{ext {первые i ролики равны ничьей,}} (i + 1) ^ {ext {th}} {ext {roll is 'the point' }}]}$

Математически мы можем выразить вероятность качения ${displaystyle i}$ связи с последующим поворотом точки:

${displaystyle operatorname {P} [{ext {первые строки i - это ничья,}} (i + 1) ^ {ext {th}} {ext {roll is 'the point'}}] = (1-operatorname {P} [E_ {1}] - имя оператора {P} [E_ {2}]) ^ {i} имя оператора {P} [E_ {1}]}$

Суммирование становится бесконечным геометрическая серия:

${displaystyle sum _ {i = 0} ^ {infty} (1-имя оператора {P} [E_ {1}] - имя оператора {P} [E_ {2}]) ^ {i} имя оператора {P} [E_ {1 }] = имя оператора {P} [E_ {1}] сумма _ {i = 0} ^ {infty} (1-имя оператора {P} [E_ {1}] - имя оператора {P} [E_ {2}]) ^ {я}}$

${displaystyle = {frac {operatorname {P} [E_ {1}]} {1- (1-operatorname {P} [E_ {1}] - Operatorname {P} [E_ {2}])}} = {frac {имя оператора {P} [E_ {1}]} {имя оператора {P} [E_ {1}] + имя оператора {P} [E_ {2}]}}}$

что согласуется с предыдущим результатом.

Рекомендации

Примечания

• Питман, Джим (1993). Вероятность. Берлин: Springer-Verlag. п. 210. ISBN  0-387-97974-3.