Curvelet - Curvelet

Curvelets не являютсяадаптивный техника для многомасштабного объект представление. Являясь продолжением вейвлет концепции, они становятся популярными в аналогичных областях, а именно в обработка изображений и научные вычисления.

Вейвлеты обобщают преобразование Фурье используя основу, которая представляет как местоположение, так и пространственную частоту. Для двумерных или трехмерных сигналов направленное вейвлет-преобразование идет дальше, используя базисные функции, которые также локализованы в ориентация. Кривое преобразование отличается от других направленных вейвлет-преобразований тем, что степень локализации в ориентации зависит от масштаба. В частности, мелкомасштабные базисные функции представляют собой длинные гребни; форма базисных функций в масштабе j является ${displaystyle 2 ^ {- j}}$ к ${displaystyle 2 ^ {- j / 2}}$ Таким образом, мелкомасштабные основания представляют собой тонкие выступы с точно определенной ориентацией.

Кривые являются подходящей основой для представления изображений (или других функций), которые являются гладкими, за исключением сингулярностей вдоль гладких кривых, где кривые имеют ограниченную кривизну, т.е. там, где объекты на изображении имеют минимальный масштаб длины. Это свойство справедливо для мультфильмов, геометрических диаграмм и текста. По мере увеличения таких изображений края, которые они содержат, кажутся все более прямыми. Кривые используют это свойство, определяя кривые с более высоким разрешением более вытянутыми, чем кривые с более низким разрешением. Однако естественные изображения (фотографии) не обладают этим свойством; у них есть детали в каждом масштабе. Поэтому для естественных изображений предпочтительно использовать какой-либо вид направленного вейвлет-преобразования, вейвлеты которого имеют одинаковое соотношение сторон на каждом масштабе.

Когда изображение имеет правильный тип, кривые обеспечивают значительно более разреженное представление, чем другие вейвлет-преобразования. Это может быть определено количественно путем рассмотрения наилучшего приближения геометрического тестового изображения, которое может быть представлено с использованием только ${displaystyle n}$ вейвлеты и анализируя ошибку аппроксимации как функцию ${displaystyle n}$ . Для преобразования Фурье квадрат ошибки уменьшается только как ${displaystyle O (1 / {sqrt {n}})}$ . Для широкого спектра вейвлет-преобразований, включая как направленные, так и ненаправленные варианты, квадрат ошибки уменьшается как ${displaystyle O (1 / n)}$ . Дополнительное предположение, лежащее в основе преобразования кривых, позволяет ему достичь ${displaystyle O ({(log n)} ^ {3} / {n ^ {2}})}$ .

Существуют эффективные численные алгоритмы для вычисления кривых преобразования дискретных данных. Вычислительные затраты на преобразование кривых примерно в 10–20 раз выше, чем на БПФ, и имеют такую же зависимость от ${displaystyle O (n ^ {2} log n)}$ для изображения размера ${displaystyle n imes n}$ .

Построение кривой

Чтобы построить базовую кривую ${displaystyle phi}$ и обеспечить замощение двухмерного частотного пространства, следует придерживаться двух основных идей:

Рассмотрим полярные координаты в частотной области
Создавайте элементы кривых, которые локально поддерживаются рядом с клиньями.

Количество клиньев ${displaystyle N_ {j} = 4cdot 2 ^ {leftlceil {frac {j} {2}} ightceil}}$ в масштабе ${displaystyle 2 ^ {- j}}$ , т.е. удваивается в каждом втором круговом кольце.

Позволять ${displaystyle {oldsymbol {xi}} = left (xi _ {1}, xi _ {2} ight) ^ {T}}$ быть переменной в частотной области, и ${displaystyle r = {sqrt {xi _ {1} ^ {2} + xi _ {2} ^ {2}}}, omega = arctan {frac {xi _ {1}} {xi _ {2}}}}$ - полярные координаты в частотной области.

Мы используем анзац для расширенные базовые кривые в полярных координатах:
${displaystyle {hat {phi}} _ {j, 0,0}: = 2 ^ {frac {-3j} {4}} W (2 ^ {- j} r) {ilde {V}} _ {N_ { j}} (omega), rgeq 0, omega в [0,2pi), jin N_ {0}}$

Чтобы построить базовую кривую с компактной опорой рядом с «основным клином», два окна ${displaystyle W}$ и ${displaystyle {ilde {V}} _ {N_ {j}}}$ нужна компактная опора. Здесь мы можем просто взять ${displaystyle W (r)}$ покрывать ${displaystyle (0, infty)}$ с расширенными кривыми и ${displaystyle {ilde {V}} _ {N_ {j}}}$ такое, что каждое круговое кольцо покрывается переводами ${displaystyle {ilde {V}} _ {N_ {j}}}$ .

Тогда допустимость дает
${displaystyle sum _ {j = -infty} ^ {infty} left | W (2 ^ {- j} r) ight | ^ {2} = 1, rin (0, infty).}$ _{видеть Оконные функции для дополнительной информации}

Для укладки круглого кольца в ${displaystyle N}$ клинья, где ${displaystyle N}$ - произвольное натуральное число, нам понадобится ${displaystyle 2pi}$ -периодическое неотрицательное окно ${displaystyle {ilde {V}} _ {N}}$ с поддержкой внутри ${displaystyle left [{frac {-2pi} {N}}, {frac {2pi} {N}} ight]}$ такой, что
${displaystyle sum _ {l = 0} ^ {N-1} {ilde {V}} _ {N} ^ {2} (omega - {frac {2pi l} {N}}) = 1}$ , для всех ${displaystyle omega слева [0,2pi ight)}$
${displaystyle {ilde {V}} _ {N}}$ можно просто построить как ${displaystyle 2pi}$ -периодизации масштабированного окна ${displaystyle V ({frac {Nomega} {2pi}})}$ .

Тогда следует, что
${displaystyle sum _ {l = 0} ^ {N_ {j} -1} left | 2 ^ {frac {3j} {4}} {hat {phi}} _ {j, 0,0} (r, omega - {frac {2pi l} {N_ {j}}}) ight | ^ {2} = left | W (2 ^ {- j} r) ight | ^ {2} sum _ {l = 0} ^ {N_ { j} -1} {ilde {V}} _ {N_ {j}} ^ {2} (omega - {frac {2pi l} {N}}) = left | W (2 ^ {- j} r) ight | ^ {2}}$

Для полного покрытия частотной плоскости, включая область вокруг нуля, нам необходимо определить элемент нижних частот
${displaystyle {hat {phi}} _ {- 1}: = W_ {0} (left | xi ight |)}$ с
${displaystyle W_ {0} ^ {2} (r) ^ {2}: = 1-сумма _ {j = 0} ^ {infty} W (2 ^ {- j} r) ^ {2}}$
который поддерживается на единичной окружности, и где мы не рассматриваем никакого вращения.