Модель Дил-Гроув - Deal–Grove model

В Модель Дил-Гроув математически описывает рост окись слой на поверхности материала. В частности, он используется для прогнозирования и интерпретации термическое окисление из кремний в изготовление полупроводниковых приборов.^[1] Модель была впервые опубликована в 1965 году Брюсом Дилом и Эндрю Гроув из Fairchild Semiconductor,^[2] опираясь на Мохамед М. Аталла работа на кремнии пассивация поверхности термическим окислением при Bell Labs в конце 1950-х гг.^[3] Это послужило шагом в развитии CMOS устройства и изготовление интегральные схемы.

Физические предположения

Три явления окисления, описанные в тексте статьи

Модель предполагает, что окисление реакция возникает на границе между оксидным слоем и материалом подложки, а не между оксидом и окружающей средой. газ.^[1] Таким образом, он рассматривает три явления, которым подвергаются окисляющие частицы, в следующем порядке:

Это распространяется от основной массы окружающего газа на поверхность.
Он диффундирует через существующий оксидный слой к границе раздела оксид-подложка.
Реагирует с субстратом.

Модель предполагает, что каждая из этих стадий протекает со скоростью, пропорциональной концентрации окислителя. В первом случае это означает Закон Генри; во-вторых, Закон диффузии Фика; в третьем реакция первого порядка по отношению к окислителю. Это также предполагает устойчивое состояние условий, т.е. что переходные эффекты не появляются.

Результаты

Учитывая эти предположения, поток Количество окислителя через каждую из трех фаз может быть выражено через концентрацию, свойства материала и температуру.

{ displaystyle J_ {газ} = h_ {g} (C_ {g} -C_ {s})}

{ Displaystyle J_ {оксид} = D_ {ox} { frac {C_ {s} -C_ {i}} {x}}}

{ Displaystyle J_ {реагирует} = k_ {i} C_ {i}}

Установив три потока равными друг другу ${ displaystyle J_ {газ} = J_ {оксид} = J_ {реагирует}}$ , можно вывести следующие соотношения:

{ displaystyle { frac {C_ {i}} {C_ {g}}} = { frac {1} {1 + k_ {i} / h_ {g} + {k_ {i} x} / D_ {ox }}}}

{ displaystyle { frac {C_ {s}} {C_ {g}}} = { frac {1+ {k_ {i} x} / D_ {ox}} {1 + k_ {i} / h_ {g } + {k_ {i} x} / D_ {ox}}}}

Предполагая контролируемый диффузией рост, т.е. ${ Displaystyle J_ {оксид}}$ определяет скорость роста, и подставляя ${ displaystyle C_ {i}}$ и ${ displaystyle C_ {s}}$ с точки зрения ${ displaystyle C_ {g}}$ из двух вышеупомянутых отношений в ${ Displaystyle J_ {оксид}}$ и ${ displaystyle J_ {реагирует}}$ уравнение соответственно, получаем:

{ Displaystyle J_ {оксид} = J_ {реагирует} = { frac {k_ {i} C_ {g}} {1 + k_ {i} / h_ {g} + {k_ {i} x} / D_ {ox }}}}

Если N - концентрация окислителя в единице объема оксида, то скорость роста оксида можно записать в виде дифференциального уравнения. Решение этого уравнения дает толщину оксида в любое время т.

{ displaystyle { frac {dx} {dt}} = { frac {J_ {оксид}} {N}} = { frac {k_ {i} C_ {g} / N} {1 + k_ {i} / h_ {g} + {k_ {i} x} / D_ {ox}}}}

{ displaystyle x ^ {2} + Ax = Bt + {x_ {i}} ^ {2} + Ax_ {i}}

{ Displaystyle х ^ {2} + Ax = B (t + tau)}

где константы ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ инкапсулируют свойства реакции и оксидный слой соответственно, и ${ displaystyle x_ {i}}$ - начальный слой оксида, который присутствовал на поверхности. Эти константы представлены как:

{ displaystyle A = 2D_ {ox} ({ frac {1} {k_ {i}}} + { frac {1} {h_ {g}}})}

{ displaystyle B = { frac {2D_ {ox} C_ {s}} {N}}}

{ Displaystyle tau = { гидроразрыва {x_ {i} ^ {2} + Ax_ {i}} {B}}}

где ${ displaystyle C_ {s} = HP_ {g}}$ , с участием ${ displaystyle H}$ являющийся параметром растворимости газа Закон Генри и ${ displaystyle P_ {g}}$ - парциальное давление диффундирующего газа.

Решение квадратного уравнения относительно Икс дает:

{ displaystyle x (t) = { frac {-A + { sqrt {{A ^ {2}} + 4 (B) (t + tau)}}} {2}}}

Если взять короткие и длинные временные рамки приведенного выше уравнения, можно увидеть два основных режима работы. Первый режим, где рост линейный, возникает первоначально, когда ${ Displaystyle т + тау}$ маленький. Второй режим дает квадратичный рост и происходит, когда оксид загустевает по мере увеличения времени окисления.

{ displaystyle t + tau ll { frac {A ^ {2}} {4B}} Rightarrow x (t) = { frac {B} {A}} (t + tau)}

{ displaystyle t + tau gg { frac {A ^ {2}} {4B}} Rightarrow x (t) = { sqrt {B (t + tau)}}}

Количество B и Б / А часто называют квадратичный и константы скорости линейной реакции. Они экспоненциально зависят от температуры, например:

{ displaystyle B = B_ {0} e ^ {- E_ {A} / kT}; quad B / A = (B / A) _ {0} e ^ {- E_ {A} / kT}}

где ${ displaystyle E_ {A}}$ это энергия активации и ${ displaystyle k}$ это Константа Больцмана в эВ. ${ displaystyle E_ {A}}$ отличается от одного уравнения к другому. В следующей таблице перечислены значения четырех параметров для одиночногокристалл кремний в условиях, обычно используемых в промышленности (низкий допинг, атмосферный давление ). Линейная константа скорости зависит от ориентации кристалла (обычно обозначается значком Индексы Миллера плоскости кристалла, обращенной к поверхности). В таблице приведены значения для кремния <100> и <111>.

Параметр	Количество	Мокрый ( ${ displaystyle H_ {2} O}$ )	Сухой ( ${ displaystyle O_ {2}}$ )
Линейная константа скорости	${ displaystyle (B / A) _ {0} left ({ frac { mu m} {hr}} right)}$	<100>: 9.7 ×10⁷ <111>: 1.63 ×10⁸	<100>: 3.71 ×10⁶ <111>: 6.23 ×10⁶
Линейная константа скорости	${ displaystyle E_ {A}}$ (эВ )	2.05	2.00
Константа параболической скорости	${ displaystyle B_ {0} left ({ frac {( mu m) ^ {2}} {hr}} right)}$	386	772
Константа параболической скорости	${ displaystyle E_ {A}}$ (эВ)	0.78	1.23

Срок действия кремния

Модель Дила – Гроува очень хорошо работает для монокристаллического кремния в большинстве условий. Однако экспериментальные данные показывают, что очень тонкие оксиды (менее 25 нанометров) растут намного быстрее в ${ displaystyle O_ {2}}$ чем прогнозирует модель. В кремниевых наноструктурах (например, Кремниевые нанопроволоки ) этот быстрый рост обычно сопровождается уменьшением кинетики окисления в процессе, известном как самоограничивающееся окисление, что требует модификации модели Дила-Гроува.^[1]

Если оксид, выращенный на определенной стадии окисления, будет значительно превышать 25 нм, простая корректировка учитывает скорость аберрантного роста. Модель дает точные результаты для толстых оксидов, если вместо предположения о нулевой начальной толщине (или любой начальной толщине менее 25 нм) мы предполагаем, что до начала окисления существует 25 нм оксида. Однако для оксидов, близких к этому пороговому значению или более тонких, чем этот порог, необходимо использовать более сложные модели.

В 1980-х годах стало очевидно, что потребуется обновление модели Дил-Гроув для моделирования вышеупомянутых тонких оксидов (самоограниченные случаи). Одним из таких подходов, более точно моделирующих тонкие оксиды, является модель Масуда 1985 г. [2]. Модель Масуда является аналитической и основана на параллельных механизмах окисления. Он изменяет параметры модели Дил-Гроув, чтобы лучше моделировать начальный рост оксида с добавлением условий повышения скорости.

Дил-Гроув также не справляется с поликристаллическим кремнием («поликремний»). Во-первых, случайная ориентация кристаллических зерен затрудняет выбор значения линейной константы скорости. Во-вторых, молекулы окислителя быстро диффундируют по границам зерен, так что поликремний окисляется быстрее, чем монокристаллический кремний.

Допант Атомы деформируют решетку кремния и облегчают связывание атомов кремния с поступающим кислородом. Этим эффектом во многих случаях можно пренебречь, но сильно легированный кремний окисляется значительно быстрее. Давление окружающего газа также влияет на скорость окисления.

использованная литература

^ ^а ^б ^c Лю, М .; Peng, J .; и другие. (2016). «Двумерное моделирование самоограничивающегося окисления в кремниевых и вольфрамовых нанопроводах». Письма по теоретической и прикладной механике. 6 (5): 195–199. Дои:10.1016 / j.taml.2016.08.002.
^ Deal, B.E .; А.С. Гроув (декабрь 1965 г.). «Общие отношения термического окисления кремния». Журнал прикладной физики. 36 (12): 3770–3778. Дои:10.1063/1.1713945.
^ Яблонович Э. (20 октября 1989 г.). «Химия твердотельной электроники» (PDF). Наука. 246 (4928): 347–351. Дои:10.1126 / science.246.4928.347. ISSN 0036-8075. PMID 17747917. S2CID 17572922. С середины 1950-х годов Аталла и другие. начал работы по термическому окислению Si. Рецепт окисления постепенно совершенствовался Дилом, Гроувом и многими другими.

Список используемой литературы

Massoud, H. Z .; Дж. Д. Пламмер (1985). «Термическое окисление кремния в сухом кислороде: точное определение кинетических констант скорости». Журнал Электрохимического общества. 132 (11): 2693–2700. Дои:10.1149/1.2113649.
Джегер, Ричард С. (2002). «Термическое окисление кремния». Введение в производство микроэлектроники (2-е изд.). Река Верхнее Седл: Prentice Hall. ISBN 0-201-44494-1.
Deal, B.E .; А.С. Гроув (декабрь 1965 г.). «Общие отношения термического окисления кремния». Журнал прикладной физики. 36 (12): 3770–3778. Дои:10.1063/1.1713945.

внешние ссылки

Онлайн-калькулятор, включая эффекты давления, легирования и тонкого оксида

[slo-1] а ^б ^c Лю, М .; Peng, J .; и другие. (2016). «Двумерное моделирование самоограничивающегося окисления в кремниевых и вольфрамовых нанопроводах». Письма по теоретической и прикладной механике. 6 (5): 195–199. Дои:10.1016 / j.taml.2016.08.002.

[2] Deal, B.E .; А.С. Гроув (декабрь 1965 г.). «Общие отношения термического окисления кремния». Журнал прикладной физики. 36 (12): 3770–3778. Дои:10.1063/1.1713945.

[3] Яблонович Э. (20 октября 1989 г.). «Химия твердотельной электроники» (PDF). Наука. 246 (4928): 347–351. Дои:10.1126 / science.246.4928.347. ISSN 0036-8075. PMID 17747917. S2CID 17572922. С середины 1950-х годов Аталла и другие. начал работы по термическому окислению Si. Рецепт окисления постепенно совершенствовался Дилом, Гроувом и многими другими.

[1]

[2]

[3]