Приближение Дерягина - Derjaguin approximation

Приближение Дерягина связывает силу между двумя сферами (вверху) и энергию взаимодействия между двумя пластинами (внизу).

В Приближение Дерягина (или иногда также называемый приближение близости) благодаря русскому ученому Борис Дерягин выражает сила профиль, действующий между телами конечных размеров с точки зрения профиля сил между двумя плоскими полубесконечными стенками.^[1] Это приближение широко используется для оценки сил между коллоидные частицы, поскольку силы между двумя плоскими телами часто гораздо проще вычислить. Приближение Дерягина выражает силу F(час) между двумя телами в зависимости от расстояния между поверхностями как^[2]

${ Displaystyle F (h) = 2 pi R _ { rm {eff}} W (h),}$

куда W(час) - энергия взаимодействия на единицу площади между двумя плоскими стенками и р_эфф эффективный радиус. Когда два тела представляют собой две сферы радиуса р₁ и р₂соответственно, эффективный радиус определяется выражением

${ displaystyle R _ { rm {eff}} ^ {- 1} = R_ {1} ^ {- 1} + R_ {2} ^ {- 1}.}$

Экспериментальные профили сил между макроскопическими телами, измеренные с помощью аппарат поверхностных сил (ОТВС)^[3] или же коллоидный зонд^[4] часто указываются как отношение F(час)/р_эфф.

Вовлеченные количества и срок действия

Сила F(час) между двумя телами связана со свободной энергией взаимодействия U(час) в качестве

${ displaystyle F (h) = - {dU over dh},}$

куда час - межповерхностное разделение. И наоборот, когда известен профиль силы, можно оценить энергию взаимодействия как

${ displaystyle U (h) = int _ {h} ^ { infty} F (h ') , dh'.}$

Если рассматривать две плоские стены, соответствующие количества выражаются на единицу площади. Расклинивающее давление - это сила на единицу площади, которая может быть выражена производной

${ displaystyle Pi (h) = - {dW over dh},}$

куда W(час) - поверхностная свободная энергия на единицу площади. Наоборот, есть

${ displaystyle W (h) = int _ {h} ^ { infty} Pi (h ') , dh'.}$

Основное ограничение приближения Дерягина состоит в том, что оно справедливо только на расстояниях, намного меньших, чем размер задействованных объектов, а именно час ≪ р₁ и час ≪ р₂. Кроме того, это приближение континуума и, следовательно, справедливо на расстояниях, превышающих масштаб молекулярных длин. Даже когда речь идет о шероховатых поверхностях, это приближение оказалось верным во многих ситуациях.^[5] Диапазон его действия ограничен расстояниями, превышающими характерный размер шероховатость поверхности характеристики (например, среднеквадратичная шероховатость).

Особые случаи

Часто используемые геометрии для приближения Дерягина. Две одинаковые сферы, плоская стенка и сфера, а также два перпендикулярно пересекающихся цилиндра (слева направо).

Часто рассматриваемые геометрии предполагают взаимодействие двух одинаковых сфер радиуса р где эффективный радиус становится

${ Displaystyle R _ { rm {eff}} = R / 2.}$

В случае взаимодействия сферы радиуса р и плоской поверхности

${ Displaystyle R _ { rm {eff}} = R.}$

Эти два соотношения могут быть получены как частные случаи выражения для р_эфф дано выше. Для ситуации перпендикулярно пересекающихся цилиндров, используемых в аппарате поверхностных сил,

${ displaystyle R _ { rm {eff}} = { sqrt {R_ {1} R_ {2}}},}$

куда р₁ и р₂ - радиусы кривизны двух задействованных цилиндров.

Упрощенный вывод

Пояснения по поводу вывода приближения Дерягина для двух одинаковых сфер.

Рассмотрим силу F(час) между двумя одинаковыми сферами радиуса р в качестве иллюстрации. Считается, что поверхности двух соответствующих сфер разрезаны на бесконечно малые диски шириной доктор и радиус р как показано на рисунке. Сила определяется суммой соответствующих давлений набухания между двумя дисками.

${ Displaystyle F = int Pi (x) , dA,}$

куда Икс это расстояние между дисками и dA площадь одного из этих дисков. Это расстояние можно выразить как Икс=час+2у. Учитывая теорема Пифагора на сером треугольнике, показанном на рисунке, есть

${ displaystyle R ^ {2} = (R-y) ^ {2} + r ^ {2}.}$

Расширяя это выражение и осознавая, что у ≪ р оказывается, что площадь диска может быть выражена как

${ displaystyle dA = 2 pi r , dr = 2 pi R , dy = pi R , dx.}$

Теперь силу можно записать как

${ Displaystyle F (h) = pi R int _ {h} ^ { infty} Pi (x) , dx = pi RW (h),}$

куда W(час) - свободная поверхностная энергия на единицу площади, введенная выше. При вводе приведенного выше уравнения верхний предел интегрирования был заменен на бесконечность, что приблизительно верно, пока час ≪ р.

Общий случай

В общем случае двух выпуклых тел эффективный радиус можно выразить следующим образом^[6]

${ displaystyle { frac {1} {R _ { rm {eff}} ^ {2}}} = left ({ frac {1} {R '_ {1}}} + { frac {1} {R '_ {2}}} right) left ({ frac {1} {R' '_ {1}}} + { frac {1} {R' '_ {2}}} right ) + left ({ frac {1} {R '_ {1}}} - { frac {1} {R' '_ {1}}} right) left ({ frac {1} { R '_ {2}}} - { frac {1} {R' '_ {2}}} right) sin ^ {2} varphi,}$

куда Р'_я и Р"_я являются главные радиусы кривизны для поверхностей я = 1 и 2, рассчитанные в точках ближайшего расстояния сближения, а φ - угол между плоскостями, охватываемыми кругами с меньшими радиусами кривизны. Когда тела не имеют сферической формы вокруг позиции наибольшего сближения, крутящий момент между двумя телами развивается и задается^[6]

${ displaystyle T = pi R _ { rm {eff}} ^ {3} V (h) left ({ frac {1} {R '_ {1}}} - { frac {1} {R '' _ {1}}} right) left ({ frac {1} {R '_ {2}}} - { frac {1} {R' '_ {2}}} right) грех 2 varphi,}$

куда

${ displaystyle V (h) = int _ {h} ^ { infty} W (h ') , dh'.}$

Приведенные выше выражения для двух сфер восстанавливаются путем задания Р'_я = Р"_я = р_я. В этом случае крутящий момент исчезает.

Выражение для двух перпендикулярно пересекающихся цилиндров получается из Р'_я = р_я и Р"_я → ∞. В этом случае крутящий момент будет стремиться сориентировать цилиндры перпендикулярно для сил отталкивания, а для сил притяжения крутящий момент будет стремиться выровнять их.

Эти общие формулы использовались для приблизительной оценки сил взаимодействия между эллипсоидами.^[7]

За пределами приближения Дерягина

Приближение Дерягина уникально ввиду своей простоты и общности. Чтобы улучшить это приближение, были предложены метод интегрирования элементов поверхности, а также подход интегрирования поверхностей для получения более точных выражений сил между двумя телами. Эти процедуры также учитывают относительную ориентацию приближающихся поверхностей.^[8][9]

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Цыпман, Ф. (2006). «Точные выражения для сил и энергий взаимодействия коллоидных плоскостей и частиц с приложениями к атомно-силовой микроскопии». J. Phys .: Condens. Иметь значение. 8 (10): 2795–2803. Bibcode:2006JPCM ... 18.2795Z. Дои:10.1088/0953-8984/18/10/005.