Дискретный ряд Фурье - Википедия - Discrete Fourier series

В цифровая обработка сигналов, период, термин Дискретный ряд Фурье (DFS) описывает особую форму обратной дискретное преобразование Фурье (обратное ДПФ).^[1]^{:542 с.}

Для функции ${ Displaystyle х (т)}$ с преобразованием Фурье ${ Displaystyle X (е),}$ в преобразование Фурье с дискретным временем (ДВПФ) дискретной последовательности ${ Displaystyle {х (п), п в mathbb {Z} },}$ дается рядом Фурье:

{ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ {- i2 pi fn} x (n) = sum _ {m = - infty} ^ { infty} X ( fm),}

где правая часть равенства является результатом Формула суммирования Пуассона. Эти формулы периодичны по частоте ${ displaystyle (f)}$ с периодом ${ displaystyle 1}$ (величина, обратная интервалу выборки). Распространенной практикой является вычисление произвольного числа ${ displaystyle (N)}$ отсчетов с частотными интервалами ${ displaystyle 1 / N,}$ тем самым охватывая один цикл периодического ДВПФ:

{ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ {- i2 pi { tfrac {k} {N}} n} x (n) = underbrace { sum _ { m = - infty} ^ { infty} X left ({ tfrac {k} {N}} - m right)} _ {{ tilde {X}} [k]}, quad k = 0 , ..., N-1}

где дискретно-частотный и периодизированный (N-периодическая) версия ${ displaystyle X}$ обозначается ${ displaystyle { tilde {X}}.}$ Из-за N-периодичности ${ displaystyle e ^ {- i2 pi { tfrac {k} {N}} n}}$ ядро, левую часть можно "сложить" следующим образом:

{ displaystyle sum _ {m = - infty} ^ { infty} left ( sum _ {n = 0} ^ {N-1} e ^ {- i2 pi { tfrac {k} {N }} n} x (n-mN) right) = sum _ {n = 0} ^ {N-1} e ^ {- i2 pi { tfrac {k} {N}} n} underbrace { left ( sum _ {m = - infty} ^ { infty} x (n-mN) right)} _ {{ tilde {x}} [n]}.}.}

как следствие:

Выборка DTFT

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ {N-1} e ^ {- i2 pi { tfrac {k} {N}} n} { tilde {x}} [n] = { тильда {X}} [k], quad k = 0, ..., N-1}

(Уравнение 1)

какой дискретное преобразование Фурье (ДПФ) одного цикла ${ displaystyle { tilde {x}} [n].}$ Обратное преобразование::

Дискретный ряд Фурье

{ Displaystyle { тильда {х}} [п] = { гидроразрыва {1} {N}} сумма _ {к = 0} ^ {N-1} { тильда {X}} [к] cdot e ^ {i2 pi { frac {n} {N}} k}, quad n in mathbb {Z},}

^[1]^{:p 542 (ур. 8.4)} ^[2]^{:стр 72 (уравнение 4.12)}

(Уравнение 2)

который является представлением ${ Displaystyle { тильда {х}} [п]}$ последовательность в терминах суммы взвешенных, гармонически связанных сложных синусоид, по существу Ряд Фурье.^[A] Но в отличие от обычного ряда Фурье, его результатом является дискретная последовательность, а количество частотных составляющих ограничено до ${ displaystyle N.}$ Таким образом, различие дискретный ряд Фурье.

Смотрите также

Примечания

^ Мы можем отметить, что то же самое описание применимо к любому обратному ДПФ. Различие в этом случае состоит в том, что отдельные члены периодического суммирования ${ Displaystyle { тильда {х}} [п]}$ не ограничиваются последовательностями длины ${ displaystyle N.}$ ^[1]^{:стр. 557–558} ^[2]^:стр.76

Рекомендации

^ ^а ^б ^c Оппенгейм, Алан В.; Шафер, Рональд В.; Бак, Джон Р. (1999). «4,2, 8,4». Обработка сигналов в дискретном времени (2-е изд.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2. выборки преобразования Фурье апериодической последовательности x [n] можно рассматривать как коэффициенты DFS периодической последовательности, полученные суммированием периодических копий x [n]. url =https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf
^ ^а ^б Прандони, Паоло; Веттерли, Мартин (2008). Обработка сигналов для связи (PDF) (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. 76. ISBN 978-1-4200-7046-0. Получено 4 октября 2020. коэффициенты DFS для периодизированного сигнала представляют собой дискретный набор значений для его DTFT

[3] Мы можем отметить, что то же самое описание применимо к любому обратному ДПФ. Различие в этом случае состоит в том, что отдельные члены периодического суммирования ${ Displaystyle { тильда {х}} [п]}$ не ограничиваются последовательностями длины ${ displaystyle N.}$ ^[1]^{:стр. 557–558} ^[2]^:стр.76

[Oppenheim-1] а ^б ^c Оппенгейм, Алан В.; Шафер, Рональд В.; Бак, Джон Р. (1999). «4,2, 8,4». Обработка сигналов в дискретном времени (2-е изд.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2. выборки преобразования Фурье апериодической последовательности x [n] можно рассматривать как коэффициенты DFS периодической последовательности, полученные суммированием периодических копий x [n]. url =https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf

[Prandoni-2] а ^б Прандони, Паоло; Веттерли, Мартин (2008). Обработка сигналов для связи (PDF) (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. 76. ISBN 978-1-4200-7046-0. Получено 4 октября 2020. коэффициенты DFS для периодизированного сигнала представляют собой дискретный набор значений для его DTFT

[1]

[2]

[A]