Дискретное преобразование Фурье (общее) - Discrete Fourier transform (general)

В математике дискретное преобразование Фурье над произвольным кольцо обобщает дискретное преобразование Фурье функции, значения которой равны сложные числа.

Определение

Позволять ${displaystyle R}$ быть любым кольцо, позволять ${displaystyle ngeq 1}$ быть целым числом, и пусть ${displaystyle alpha in R}$ быть главный пкорень -й степени из единицы, определяемый:^[1]

${displaystyle {egin {выравнивается} & alpha ^ {n} = 1 & sum _ {j = 0} ^ {n-1} alpha ^ {jk} = 0 {ext {for}} 1leq k$

Дискретное преобразование Фурье отображает ппара ${displaystyle (v_ {0}, ldots, v_ {n-1})}$ элементов ${displaystyle R}$ другому ппара ${displaystyle (f_ {0}, ldots, f_ {n-1})}$ элементов ${displaystyle R}$ по следующей формуле:

${displaystyle f_ {k} = sum _ {j = 0} ^ {n-1} v_ {j} alpha ^ {jk} .qquad (2)}$

По соглашению кортеж ${displaystyle (v_ {0}, ldots, v_ {n-1})}$ говорят, что находится в область времени и индекс ${displaystyle j}$ называется время. Кортеж ${displaystyle (f_ {0}, ldots, f_ {n-1})}$ говорят, что находится в частотная область и индекс ${displaystyle k}$ называется частота. Кортеж ${displaystyle (f_ {0}, ldots, f_ {n-1})}$ также называется спектр из ${displaystyle (v_ {0}, ldots, v_ {n-1})}$. Эта терминология происходит от применения преобразований Фурье в обработка сигнала.

Если ${displaystyle R}$ является область целостности (который включает в себя поля ) достаточно выбрать ${displaystyle alpha}$ как примитивный пй корень единства, который заменяет условие (1) на:^[1]

${displaystyle alpha ^ {k} экв 1}$ для ${displaystyle 1leq k$

Доказательство: возьми ${displaystyle eta = alpha ^ {k}}$ с участием ${displaystyle 1leq k$. поскольку ${displaystyle alpha ^ {n} = 1}$, ${displaystyle eta ^ {n} = (альфа ^ {n}) ^ {k} = 1}$, давая:

${displaystyle eta ^ {n} -1 = (eta -1) слева (сумма _ {j = 0} ^ {n-1} eta ^ {j} ight) = 0}$

где сумма соответствует (1). поскольку ${displaystyle alpha}$ первобытный корень единства, ${displaystyle eta -1eq 0}$. поскольку ${displaystyle R}$ является областью целостности, сумма должна быть равна нулю. ∎

Другое простое условие применяется в случае, когда п является степенью двойки: (1) можно заменить на ${displaystyle alpha ^ {n / 2} = - 1}$.^[1]

Обратный

Обратное к дискретному преобразованию Фурье задается как:

${displaystyle v_ {j} = {frac {1} {n}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} f_ {k} alpha ^ {- jk} .qquad (3)}$

где ${displaystyle 1 / n}$ является мультипликативным обратным ${displaystyle n}$ в ${displaystyle R}$ (если этого обратного не существует, ДПФ не может быть инвертирован).

Доказательство: Подставляя (2) в правую часть (3), получаем

${displaystyle {egin {align} & {frac {1} {n}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} f_ {k} alpha ^ {- jk} = {} & {frac {1} {n}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} sum _ {j '= 0} ^ {n-1} v_ {j'} alpha ^ {j'k} alpha ^ {- jk} = {} & {frac {1} {n}} sum _ {j '= 0} ^ {n-1} v_ {j'} sum _ {k = 0} ^ {n-1} alpha ^ {(j '-j) k} .end {выровнено}}}$

Это в точности равно ${displaystyle v_ {j}}$, потому что ${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n-1} alpha ^ {(j'-j) k} = 0}$ когда ${displaystyle j'eq j}$ (по (1) с ${displaystyle k = j'-j}$), и ${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n-1} alpha ^ {(j'-j) k} = n}$ когда ${displaystyle j '= j}$. ∎

Формулировка матрицы

Поскольку дискретное преобразование Фурье является линейный оператор, это можно описать как матричное умножение. В матричной записи дискретное преобразование Фурье выражается следующим образом:

${displaystyle {egin {bmatrix} f_ {0} f_ {1} vdots f_ {n-1} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & cdots & 1 1 & alpha & alpha ^ {2} & cdots & alpha ^ {n -1} 1 & alpha ^ {2} & alpha ^ {4} & cdots & alpha ^ {2 (n-1)} vdots & vdots & vdots && vdots 1 & alpha ^ {n-1} & alpha ^ {2 (n-1)} & cdots & alpha ^ {(n-1) (n-1)} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} v_ {0} v_ {1} vdots v_ {n-1} end {bmatrix}}.}$

Матрица для этого преобразования называется Матрица ДПФ.

Точно так же матричная запись для обратного преобразования Фурье:

${displaystyle {egin {bmatrix} v_ {0} v_ {1} vdots v_ {n-1} end {bmatrix}} = {frac {1} {n}} {egin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & cdots & 1 1 & alpha ^ {-1} & alpha ^ {- 2} & cdots & alpha ^ {- (n-1)} 1 & alpha ^ {- 2} & alpha ^ {- 4} & cdots & alpha ^ {- 2 (n-1)} vdots & vdots & vdots && vdots 1 & alpha ^ {- (n-1)} & alpha ^ {- 2 (n-1)} & cdots & alpha ^ {- (n-1) (n-1)} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} f_ {0} f_ {1} vdots f_ {n-1} end {bmatrix}}.}$

Полиномиальная формулировка^[2]

Иногда бывает удобно определить ${displaystyle n}$пара ${displaystyle (v_ {0}, ldots, v_ {n-1})}$ с формальным полиномом

${displaystyle p_ {v} (x) = v_ {0} + v_ {1} x + v_ {2} x ^ {2} + cdots + v_ {n-1} x ^ {n-1}.,}$

Выписывая суммирование в определении дискретного преобразования Фурье (2), получаем:

${displaystyle f_ {k} = v_ {0} + v_ {1} alpha ^ {k} + v_ {2} alpha ^ {2k} + cdots + v_ {n-1} alpha ^ {(n-1) k} .,}$

Это значит, что ${displaystyle f_ {k}}$ это просто значение полинома ${displaystyle p_ {v} (x)}$ для ${displaystyle x = alpha ^ {k}}$, т.е.

${displaystyle f_ {k} = p_ {v} (alpha ^ {k}).,}$

Следовательно, преобразование Фурье связывает коэффициенты и ценности полинома: коэффициенты находятся во временной области, а значения - в частотной области. Здесь, конечно, важно, чтобы полином вычислялся на ${displaystyle n}$корни единства, которые являются в точности степенями ${displaystyle alpha}$.

Аналогично можно записать определение обратного преобразования Фурье (3):

${displaystyle v_ {j} = {frac {1} {n}} (f_ {0} + f_ {1} alpha ^ {- j} + f_ {2} alpha ^ {- 2j} + cdots + f_ {n- 1} альфа ^ {- (n-1) j}). Qquad (5)}$

С участием

${displaystyle p_ {f} (x) = f_ {0} + f_ {1} x + f_ {2} x ^ {2} + cdots + f_ {n-1} x ^ {n-1},}$

это значит, что

${displaystyle v_ {j} = {frac {1} {n}} p_ {f} (alpha ^ {- j}).}$

Мы можем резюмировать это следующим образом: если ценности из ${displaystyle p (x)}$ являются коэффициенты из ${displaystyle q (x)}$, то ценности из ${displaystyle q (x)}$ являются коэффициенты из ${displaystyle p (x)}$, с точностью до скалярного множителя и переупорядочения.

Особые случаи

Сложные числа

Если ${displaystyle F = {mathbb {C}}}$ - поле комплексных чисел, то ${displaystyle n}$корни единства можно представить как точки на единичный круг из комплексная плоскость. В этом случае обычно принимают

${displaystyle alpha = e ^ {frac {-2pi i} {n}},}$

что дает обычную формулу для комплексное дискретное преобразование Фурье:

${displaystyle f_ {k} = sum _ {j = 0} ^ {n-1} v_ {j} e ^ {{frac {-2pi i} {n}} jk}.}$

Для комплексных чисел часто принято нормализовать формулы для ДПФ и обратного ДПФ, используя скалярный коэффициент ${displaystyle {frac {1} {sqrt {n}}}}$ в обеих формулах, а не ${displaystyle 1}$ в формуле для ДПФ и ${displaystyle {frac {1} {n}}}$ в формуле обратного ДПФ. При такой нормализации матрица ДПФ становится унитарной. Обратите внимание, что ${displaystyle {sqrt {n}}}$ не имеет смысла в произвольной области.

Конечные поля

Если ${displaystyle F = GF (q)}$ это конечное поле, где ${displaystyle q}$ это премьер власть, то существование примитивного ${displaystyle n}$корень th автоматически подразумевает, что ${displaystyle n}$ разделяет ${displaystyle q-1}$, поскольку мультипликативный порядок каждого элемента должен делить размер мультипликативная группа из ${displaystyle F}$, который ${displaystyle q-1}$. Это, в частности, гарантирует, что ${displaystyle n = underbrace {1 + 1 + cdots +1} _ {n {m {times}}}}$ обратима, так что обозначение ${displaystyle {frac {1} {n}}}$ в (3) имеет смысл.

Применение дискретного преобразования Фурье над ${displaystyle GF (q)}$ сокращение Коды Рида – Соломона к Коды BCH в теория кодирования. Такое преобразование может быть эффективно выполнено с помощью подходящих быстрых алгоритмов, например, циклотомическое быстрое преобразование Фурье.

Теоретико-числовое преобразование

В теоретико-числовое преобразование (NTT) получается специализацией дискретного преобразования Фурье на ${displaystyle F = {mathbb {Z}} / p}$, то целые числа по простому модулю п. Это конечное поле, и примитивный пкорни единства существуют всякий раз, когда п разделяет ${displaystyle p-1}$, так что у нас есть ${displaystyle p = xi n + 1}$ для положительного целого числа ξ. В частности, пусть ${displaystyle omega}$ быть примитивным ${displaystyle (p-1)}$корень из единства, затем пй корень единства ${displaystyle alpha}$ можно найти, позволив ${displaystyle alpha = omega ^ {xi}}$.

например для ${displaystyle p = 5}$, ${displaystyle alpha = 2}$

${displaystyle {egin {align} 2 ^ {1} & = 2 {pmod {5}} 2 ^ {2} & = 4 {pmod {5}} 2 ^ {3} & = 3 {pmod {5} } 2 ^ {4} & = 1 {pmod {5}} конец {выровнено}}}$

когда ${displaystyle N = 4}$

${displaystyle {egin {bmatrix} F (0) F (1) F (2) F (3) end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 4 & 3 1 & 4 & 1 & 4 1 & 3 & 4 & 2end {bmatrix}} {egin {bmatrix} f (0) f (1) f (2) f (3) end {bmatrix}}}$

Теоретико-числовое преобразование может иметь смысл в кольцо ${displaystyle mathbb {Z} / m}$, даже когда модуль м не является простым, если главный корень порядка п существуют. Частные случаи теоретико-числового преобразования, такие как преобразование числа Ферма (м = 2^k+1), используемый Алгоритм Шёнхаге – Штрассена, или преобразование числа Мерсенна (м = 2^k − 1) использовать составной модуль.

Дискретное взвешенное преобразование

В дискретное взвешенное преобразование (DWT) является вариацией дискретного преобразования Фурье над произвольными кольцами, содержащими взвешивание ввод перед преобразованием путем поэлементного умножения на вектор веса, а затем взвешивания результата другим вектором.^[3] В Иррациональное базовое дискретное взвешенное преобразование является частным случаем этого.

Свойства

Большинство важных атрибутов комплексное ДПФ, включая обратное преобразование, теорема свертки, и большинство быстрое преобразование Фурье (БПФ) алгоритмы зависят только от того свойства, что ядро ​​преобразования является главным корнем из единицы. Эти свойства также верны с идентичными доказательствами над произвольными кольцами. В случае полей эту аналогию можно формализовать следующим образом: поле с одним элементом, рассматривая любое поле с примитивом пкорень из единицы как алгебра над полем расширений ${displaystyle mathbf {F} _ {1 ^ {n}}.}$^{[требуется разъяснение ]}

В частности, применимость ${displaystyle O (nlog n)}$ быстрое преобразование Фурье алгоритмы вычисления NTT в сочетании с теоремой свертки означают, что теоретико-числовое преобразование дает эффективный способ вычисления точных извилины целочисленных последовательностей. Хотя сложный ДПФ может выполнять ту же задачу, он подвержен ошибка округления с конечной точностью плавающая точка арифметика; в NTT нет округления, потому что он имеет дело исключительно с целыми числами фиксированного размера, которые могут быть точно представлены.

Быстрые алгоритмы

Для реализации «быстрого» алгоритма (аналогично тому, как БПФ вычисляет DFT ) часто желательно, чтобы длина преобразования также была очень сложной, например, сила двух. Однако существуют специализированные алгоритмы быстрого преобразования Фурье для конечных полей, такие как алгоритм Ванга и Чжу,^[4] которые эффективны независимо от факторов длины преобразования.

Смотрите также

• Дискретное преобразование Фурье (комплексное)
• Сумма Гаусса
• Свертка
• Алгоритм умножения

использованная литература

внешние ссылки

• http://www.apfloat.org/ntt.html