Двойной вейвлет - Dual wavelet

В математика, а двойной вейвлет это двойной к вейвлет. В целом серия вейвлетов созданный квадратично интегрируемый функция будет двойная серия в смысле Теорема Рисса о представлении. Однако дуальный ряд, вообще говоря, не может быть представлен функцией, интегрируемой с квадратом.

Определение

Для интегрируемой с квадратом функции ${ Displaystyle psi в L ^ {2} ( mathbb {R})}$ , определим серию ${ displaystyle { psi _ {jk} }}$ к

{ Displaystyle psi _ {jk} (x) = 2 ^ {j / 2} psi (2 ^ {j} x-k)}

для целых чисел ${ displaystyle j, k in mathbb {Z}}$ .

Такая функция называется р-функция если линейная оболочка ${ displaystyle { psi _ {jk} }}$ является плотный в ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$ , и если существуют положительные постоянные А, B с ${ Displaystyle 0 <А Leq B < infty}$ такой, что

{ displaystyle A Vert c_ {jk} Vert _ {l ^ {2}} ^ {2} leq { bigg Vert} sum _ {jk = - infty} ^ { infty} c_ {jk } psi _ {jk} { bigg Vert} _ {L ^ {2}} ^ {2} leq B Vert c_ {jk} Vert _ {l ^ {2}} ^ {2} , }

для всех би-бесконечных суммируемый квадрат серии ${ displaystyle {c_ {jk} }}$ . Здесь, ${ Displaystyle Vert cdot Vert _ {l ^ {2}}}$ обозначает норму суммы квадратов:

{ displaystyle Vert c_ {jk} Vert _ {l ^ {2}} ^ {2} = sum _ {jk = - infty} ^ { infty} vert c_ {jk} vert ^ {2 }}

и ${ Displaystyle Vert cdot Vert _ {L ^ {2}}}$ обозначает обычную норму на ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$ :

{ displaystyle Vert f Vert _ {L ^ {2}} ^ {2} = int _ {- infty} ^ { infty} vert f (x) vert ^ {2} dx}

Посредством Теорема Рисса о представлении, существует единственный дуальный базис ${ displaystyle psi ^ {jk}}$ такой, что

{ displaystyle langle psi ^ {jk} vert psi _ {lm} rangle = delta _ {jl} delta _ {km}}

куда ${ displaystyle delta _ {jk}}$ это Дельта Кронекера и ${ displaystyle langle f vert g rangle}$ это обычный внутренний продукт на ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$ . Действительно, существует единственный представление серии для интегрируемой с квадратом функции ж выраженные в этой основе:

{ Displaystyle е (х) = сумма _ {jk} langle psi ^ {jk} vert f rangle psi _ {jk} (x)}

Если существует функция ${ Displaystyle { тильда { psi}} в L ^ {2} ( mathbb {R})}$ такой, что

{ Displaystyle { тильда { psi}} _ {jk} = psi ^ {jk}}

тогда ${ Displaystyle { тильда { psi}}}$ называется двойной вейвлет или вейвлет, двойственный к ψ. В общем, по некоторым данным р-функции ψ двойственного не будет. В частном случае ${ Displaystyle psi = { тильда { psi}}}$ , вейвлет называется ортогональный вейвлет.

Пример р-функцию без дуала построить легко. Позволять ${ displaystyle phi}$ - ортогональный вейвлет. Затем определите ${ Displaystyle psi (x) = phi (x) + z phi (2x)}$ для некоторого комплексного числа z. Несложно показать, что это ψ не имеет дуального всплеска.

Смотрите также

Анализ с несколькими разрешениями

Двойной вейвлет - Dual wavelet

Определение

Смотрите также

Рекомендации