Теория двойственности для дистрибутивных решеток - Duality theory for distributive lattices

В математика, теория двойственности для дистрибутивных решеток предоставляет три разных (но тесно связанных) представления ограниченные дистрибутивные решетки через Пространства Пристли, спектральные пространства, и попарные каменные пространства. Эта двойственность, которая изначально также связана с Маршалл Х. Стоун,[1] обобщает известные Каменная двойственность между Каменные пространства и Булевы алгебры.

Позволять L - ограниченная дистрибутивная решетка, и пусть Икс обозначить набор из первичные фильтры из L. Для каждого а ∈ L, позволять φ+(а) = {Икс∈ Икс : а ∈ Икс}. потом (Икс,τ+) спектральное пространство,[2] где топология τ+ на Икс генерируется {φ+(а) : а ∈ L}. Спектральное пространство (Икс, τ+) называется простой спектр из L.

В карта φ+ решетка изоморфизм из L на решетку всех компактный открыто подмножества (Икс,τ+). Фактически, каждое спектральное пространство гомеоморфный к простому спектру некоторой ограниченной дистрибутивной решетки.[3]

Аналогично, если φ−(а) = {Икс∈ Икс : а ∉ Икс} и τ− обозначает топологию, порожденную {φ−(а) : а∈ L}, тогда (Икс,τ−) также является спектральным пространством. Более того, (Икс,τ+,τ−) это попарно Stone Space. Парное каменное пространство (Икс,τ+,τ−) называется битопологический дуальный из L. Каждое попарное каменное пространство равно би-гомеоморфный к битопологическому двойственному некоторой ограниченной дистрибутивной решетке.[4]

Наконец, пусть ≤ - теоретико-множественное включение на множестве простых фильтров L и разреши τ = τ+∨ τ−. потом (Икс,τ,≤) это Пространство Пристли. Более того, φ+ является решеточным изоморфизмом из L на решетку всех прищемить настроения из (Икс,τ,≤). Пространство Пристли (Икс,τ,≤) называется Пристли двойной из L. Каждое пространство Пристли изоморфно двойственному Пристли некоторой ограниченной дистрибутивной решетке.[5]

Позволять Dist обозначим категорию ограниченных дистрибутивных решеток и ограниченных решеток гомоморфизмы. Тогда указанные выше три представления ограниченных дистрибутивных решеток могут быть расширены до двойная эквивалентность[6] между Dist и категории Спецификация, PStone, и Pries спектральных пространств со спектральными отображениями, попарных пространств Стоуна с бинепрерывными отображениями и пространств Пристли с морфизмами Пристли соответственно:

Spec, Pries и Pstone изоморфны, все три эквивалентны Dist
Двойственность для ограниченных дистрибутивных решеток

Таким образом, есть три эквивалентных способа представления ограниченных дистрибутивных решеток. У каждого из них есть свои мотивы и преимущества, но в конечном итоге все они служат одной и той же цели - обеспечивать лучшее понимание ограниченных распределительных решеток.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Камень (1938)
  2. ^ Стоун (1938), Джонстон (1982)
  3. ^ Стоун (1938), Джонстон (1982)
  4. ^ Бежанишвили и др. (2010)
  5. ^ Пристли (1970)
  6. ^ Бежанишвили и др. (2010)

Рекомендации

  • Пристли, Х.А. (1970). Представление дистрибутивных решеток с помощью упорядоченных пространств Стоуна. Бык. Лондонская математика. Soc., (2) 186–190.
  • Пристли, Х.А. (1972). Упорядоченные топологические пространства и представление дистрибутивных решеток. Proc. Лондонская математика. Soc., 24(3) 507–530.
  • Стоун, М. (1938). Топологическое представление дистрибутивных решеток и логик Брауэра. Casopis Pest. Мат. Фис., 67 1–25.
  • Корниш, У. Х. (1975). О двойственной Х. Пристли категории ограниченных дистрибутивных решеток. Мат. Весник, 12(27) (4) 329–332.
  • М. Хохстер (1969). Структура простых идеалов в коммутативных кольцах. Пер. Амер. Математика. Soc., 142 43–60
  • Джонстон, П. Т. (1982). Каменные пространства. Издательство Кембриджского университета, Кембридж. ISBN  0-521-23893-5.
  • Юнг А. и Мошье М. А. (2006). О битопологической природе двойственности Стоуна. Технический отчет CSR-06-13, Школа компьютерных наук Университета Бирмингема.
  • Бежанишвили, Г., Бежанишвили, Н., Габелая, Д., Курц, А. (2010). Битопологическая двойственность для дистрибутивных решеток и алгебр Гейтинга. Математические структуры в информатике, 20.
  • Дикманн, Макс; Шварц, Нильс; Трессл, Маркус (2019). Спектральные пространства. Новые математические монографии. 35. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017/9781316543870. ISBN  9781107146723.