Теория динамического среднего поля - Dynamical mean-field theory

Теория динамического среднего поля (DMFT) - метод определения электронной структуры сильно коррелированные материалы. В таких материалах приближение независимых электронов, которое используется в теория функционала плотности и обычно ленточная структура расчеты, срывается. Теория динамического среднего поля, непертурбативная трактовка локальных взаимодействий между электронами, устраняет разрыв между почти свободный электрон предел газа и атомный предел физика конденсированного состояния.^[1]

DMFT состоит в отображении многотельный решетка для многочастичного местный проблема, называемая примесной моделью.^[2] Хотя проблема решетки в целом неразрешима, примесная модель обычно решается с помощью различных схем. Само по себе отображение не является приближением. Единственное приближение, сделанное в обычных схемах DMFT, - это предположить, что решетка собственная энергия быть независимой от импульса (локальной) величиной. Это приближение становится точным в пределе решеток с бесконечным координация.^[3]

Один из главных успехов DMFT - описать фаза перехода между металлом и Изолятор Мотта когда сила электронные корреляции увеличена. Он успешно применяется к реальным материалам в сочетании с приближение локальной плотности теории функционала плотности.^[4][5]

Отношение к теории среднего поля

DMFT-обработка решеточных квантовых моделей аналогична теория среднего поля (MFT) обработка классических моделей, таких как Модель Изинга.^[6] В модели Изинга проблема решетки отображается на эффективную задачу с одним узлом, намагниченность которой должна воспроизводить намагниченность решетки посредством эффективного «среднего поля». Это состояние называется условием самосогласованности. Это оговаривает, что односайтовые наблюдаемые должны воспроизводить решеточные "локальные" наблюдаемые посредством эффективного поля. В то время как N-узловой гамильтониан Изинга сложно решить аналитически (на сегодняшний день аналитические решения существуют только для одномерного и двумерного случая), проблема одноузлового решения легко решается.

Аналогичным образом DMFT отображает решеточную задачу (например то Модель Хаббарда ) на односайтовую проблему. В DMFT локальная наблюдаемая - это локальная наблюдаемая. Функция Грина. Таким образом, условие самосогласования для DMFT состоит в том, чтобы примесная функция Грина воспроизводила решеточную локальную функцию Грина через эффективное среднее поле, которое в DMFT является функцией гибридизации ${ Displaystyle Delta ( тау)}$ примесной модели. DMFT обязан своим названием тому факту, что среднее поле ${ Displaystyle Дельта ( тау)}$ зависит от времени или динамично. Это также указывает на основное различие между Ising MFT и DMFT: Ising MFT отображает проблему N-спина в задачу с одним узлом и одним спином. DMFT отображает проблему решетки на проблему с одним узлом, но последняя по сути остается проблемой N тел, которая улавливает временные флуктуации из-за электрон-электронных корреляций.

Описание DMFT для модели Хаббарда

Отображение DMFT

Одноорбитальная модель Хаббарда

Модель Хаббарда ^[7] описывает локальное взаимодействие между электронами противоположного спина одним параметром, ${ displaystyle U}$. Гамильтониан Хаббарда может иметь следующий вид:

${ displaystyle H _ { text {Hubbard}} = t sum _ { langle ij rangle sigma} c_ {i sigma} ^ { dagger} c_ {j sigma} + U sum _ {i} n_ {i uparrow} n_ {i downarrow}}$

где при подавлении индексов спина 1/2 ${ displaystyle sigma}$, ${ displaystyle c_ {i} ^ { dagger}, c_ {i}}$ обозначают операторы рождения и уничтожения электрона на локализованной орбитали на месте ${ displaystyle i}$, и ${ displaystyle n_ {i} = c_ {i} ^ { dagger} c_ {i}}$.

Были сделаны следующие предположения:

• только одна орбиталь вносит вклад в электронные свойства (как, возможно, в случае атомов меди в сверхпроводящих купраты, чей ${ displaystyle d}$-полосы невырождены),
• орбитали настолько локализованы, что только прыжки ближайшего соседа ${ displaystyle t}$ учитывается

Вспомогательная задача: примесная модель Андерсона.

Модель Хаббарда в общем случае неразрешима при обычных методах расширения возмущений. DMFT отображает эту решеточную модель на так называемый Модель примеси Андерсона (ЦЕЛЬ). Эта модель описывает взаимодействие одного узла (примеси) с «ванной» электронных уровней (описываемой операторами аннигиляции и создания ${ displaystyle a_ {p sigma}}$ и ${ displaystyle a_ {p sigma} ^ { dagger}}$) через функцию гибридизации. Модель Андерсона, соответствующая нашей одноузельной модели, представляет собой одноорбитальную модель примеси Андерсона, гамильтонова формулировка которой при подавлении некоторых индексов со спином 1/2 ${ displaystyle sigma}$, является:

${ displaystyle H _ { text {AIM}} = underbrace { sum _ {p} epsilon _ {p} a_ {p} ^ { dagger} a_ {p}} _ {H _ { text {ванна} }} + underbrace { sum _ {p sigma} left (V_ {p} ^ { sigma} c _ { sigma} ^ { dagger} a_ {p sigma} + hc right)} _ { H _ { text {mix}}} + underbrace {Un _ { uparrow} n _ { downarrow} - mu left (n _ { uparrow} + n _ { downarrow} right)} _ {H _ { text {loc}}}}$

куда

• ${ displaystyle H _ { text {ванна}}}$ описывает некоррелированные электронные уровни ${ displaystyle epsilon _ {p}}$ ванны
• ${ displaystyle H _ { text {loc}}}$ описывает примесь, где два электрона взаимодействуют с энергетической ценой ${ displaystyle U}$
• ${ displaystyle H _ { text {mix}}}$ описывает гибридизацию (или сцепление) между примесью и ванной через условия гибридизации ${ Displaystyle V_ {p} ^ { sigma}}$

Функция Мацубары Грина этой модели, определяемая ${ displaystyle G _ { text {imp}} ( tau) = - langle Tc ( tau) c ^ { dagger} (0) rangle}$, полностью определяется параметрами ${ Displaystyle U, mu}$ и так называемая функция гибридизации ${ displaystyle Delta _ { sigma} (я omega _ {n}) = sum _ {p} { frac {| V_ {p} ^ { sigma} | ^ {2}} {i omega _ {n} - epsilon _ {p}}}}$, которое является преобразованием Фурье мнимого времени ${ Displaystyle Delta _ { sigma} ( тау)}$.

Эта функция гибридизации описывает динамику прыжков электронов в ванну и из нее. Он должен воспроизводить динамику решетки таким образом, чтобы примесная функция Грина была такой же, как функция Грина локальной решетки. Он связан с невзаимодействующей функцией Грина соотношением:

${ displaystyle ({ mathcal {G}} _ {0}) ^ {- 1} (я omega _ {n}) = я omega _ {n} + mu - Delta (я omega _ { n})}$ (1)

Решение примесной модели Андерсона состоит в вычислении наблюдаемых, таких как взаимодействующая функция Грина ${ Displaystyle G (я omega _ {n})}$ для данной функции гибридизации ${ displaystyle Delta (я omega _ {n})}$ и ${ Displaystyle U, mu}$. Это сложная, но не неразрешимая проблема. Существует несколько способов решения AIM, например:

• В Числовая ренормгруппа
• Точная диагонализация
• Итерационная теория возмущений
• Непересекающееся приближение
• Квантовый Монте-Карло в непрерывном времени алгоритмы

Уравнения самосогласования

Условие самосогласования требует наличия примесной функции Грина ${ Displaystyle G _ { mathrm {имп}} ( тау)}$ совпадать с локальной решеточной функцией Грина ${ displaystyle G_ {ii} ( tau) = - langle Tc_ {i} ( tau) c_ {i} ^ { dagger} (0) rangle}$:

${ displaystyle G _ { mathrm {imp}} (я omega _ {n}) = G_ {ii} (i omega _ {n}) = sum _ {k} { frac {1} {i omega _ {n} + mu - epsilon (k) - Sigma (k, i omega _ {n})}}}$

куда ${ Displaystyle Sigma (к, я omega _ {n})}$ обозначает собственную энергию решетки.

Приближение DMFT: локальность собственной энергии решетки

Единственное приближение DMFT (помимо приближения, которое может быть сделано для решения модели Андерсона) состоит в пренебрежении пространственными флуктуациями решетки собственная энергия, приравняв ее к примесной собственной энергии:

${ Displaystyle Sigma (к, я omega _ {n}) приблизительно Sigma _ {imp} (я omega _ {n})}$

Это приближение становится точным в пределе решеток с бесконечной координацией, то есть когда число соседей каждого узла бесконечно. Действительно, можно показать, что в схематическом расширении собственной энергии решетки сохраняются только локальные диаграммы при переходе в бесконечный координационный предел.

Таким образом, как и в классических теориях среднего поля, предполагается, что DMFT становится более точным по мере увеличения размерности (и, следовательно, числа соседей). Иными словами, для малых размеров пространственные флуктуации делают приближение DMFT менее надежным.

Цикл DMFT

Для нахождения локальной решеточной функции Грина необходимо определить такую ​​функцию гибридизации, чтобы соответствующая примесная функция Грина совпадала с искомой локальной решеточной функцией Грина. Наиболее распространенный способ решения этой задачи - использование прямой рекурсии метод, а именно для заданного ${ displaystyle U}$, ${ displaystyle mu}$ и температура ${ displaystyle T}$:

1. Начните с предположения для ${ Displaystyle Sigma (к, я omega _ {n})}$ (обычно ${ Displaystyle Sigma (к, я omega _ {n}) = 0}$)
2. Сделайте приближение DMFT: ${ Displaystyle Sigma (к, я omega _ {n}) приблизительно Sigma _ { mathrm {imp}} (я omega _ {n})}$
3. Вычислить локальную функцию Грина ${ Displaystyle G _ { mathrm {loc}} (я omega _ {п})}$
4. Вычислить динамическое среднее поле ${ displaystyle Delta (я omega) = i omega _ {n} + mu -G _ { mathrm {loc}} ^ {- 1} (i omega _ {n}) - Sigma _ { mathrm {imp}} (я omega _ {n})}$
5. Решите AIM для новой примесной функции Грина ${ displaystyle G _ { mathrm {imp}} (я omega _ {n})}$, извлечь его собственную энергию: ${ displaystyle Sigma _ { mathrm {imp}} (я omega _ {n}) = ({ mathcal {G}} _ {0}) ^ {- 1} (я omega _ {n}) - (G _ { mathrm {imp}}) ^ {- 1} (i omega _ {n})}$
6. Вернитесь к шагу 2 до сходимости, а именно, когда ${ displaystyle G _ { mathrm {imp}} ^ {n} = G _ { mathrm {imp}} ^ {n + 1}}$.

Приложения

Локальную решеточную функцию Грина и другие примесные наблюдаемые можно использовать для вычисления ряда физических величин как функций корреляций. ${ displaystyle U}$, пропускная способность, наполнение (химический потенциал ${ displaystyle mu}$) и температура ${ displaystyle T}$:

• то спектральная функция (что дает ленточную структуру)
• то кинетическая энергия
• двойное размещение сайта
• функции ответа (сжимаемость, оптическая проводимость, удельная теплоемкость)

В частности, падение двухместного размещения как ${ displaystyle U}$ увеличение - это признак перехода Мотта.

Расширения DMFT

DMFT имеет несколько расширений, расширяющих описанный выше формализм на многоорбитальные и многоузловые задачи.

Многоорбитальное расширение

DMFT может быть расширен на модели Хаббарда с множественными орбиталями, а именно с электрон-электронными взаимодействиями в форме ${ Displaystyle U _ { альфа бета} п _ { альфа} п _ { бета}}$ куда ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ обозначают разные орбитали. Сочетание с теория функционала плотности (DFT + DMFT)^[4][8] затем позволяет осуществить реалистичный расчет коррелированных материалов.^[9]

Расширенный DMFT

Расширенный DMFT дает локальную примесную собственную энергию для нелокальных взаимодействий и, следовательно, позволяет нам применять DMFT для более общих моделей, таких как t-J модель.

Кластер DMFT

Чтобы улучшить приближение DMFT, модель Хаббарда может быть отображена на многоузловой примесной (кластерной) задаче, что позволяет добавить некоторую пространственную зависимость к примесной собственной энергии. Кластеры содержат от 4 до 8 узлов при низкой температуре и до 100 узлов при высокой температуре.

Схема расширения

Пространственные зависимости собственной энергии за пределами DMFT, включая дальнодействующие корреляции в окрестности фазового перехода, также могут быть получены с помощью комбинации аналитических и численных методов. Начальная точка динамического вершинного приближения^[10] а дуального фермионного подхода - локальный двухчастичная вершина.

Неравновесный

DMFT использовался для исследования неравновесного переноса и оптических возбуждений. Здесь надежный расчет AIM Функция Грина вне равновесия остается большой проблемой.

Ссылки и примечания

Смотрите также

• Сильно коррелированный материал

внешняя ссылка

• Сильно коррелированные материалы: выводы из теории динамического среднего поля Г. Котляр, Д. Воллхардт
• Конспект лекций по подходу LDA + DMFT к сильно коррелированным материалам Ева Паварини, Эрик Кох, Дитер Фоллхардт и Александр Лихтенштейн (ред.)
• Конспект лекций DMFT в 25 лет: бесконечные измерения Ева Паварини, Эрик Кох, Дитер Фоллхардт и Александр Лихтенштейн (ред.)