Теорема Эберхардса - Википедия - Eberhards theorem

В математике и особенно в многогранная комбинаторика, Теорема Эберхарда частично характеризует мультимножества из полигоны которые могут формировать лица просто выпуклые многогранники. В нем говорится, что для данного количества треугольников, четырехугольников, пятиугольников, семиугольников и других многоугольников, кроме шестиугольников, существует выпуклый многогранник с указанным числом граней каждого типа (и неопределенным числом шестиугольных граней) тогда и только тогда, когда такое количество многоугольников подчиняется линейному уравнению, полученному из Формула полиэдра Эйлера.^[1]

Теорема названа в честь Виктор Эберхард, слепой немецкий математик, опубликовавший ее в 1888 г. абилитация диссертации и в развернутом виде в книге 1891 года по многогранникам.^[1]^[2]^[3]

Определения и заявление

Для произвольного выпуклого многогранника можно определить числа ${ displaystyle p_ {3}}$ , ${ displaystyle p_ {4}}$ , ${ displaystyle p_ {5}}$ и т. д., где ${ displaystyle p_ {i}}$ считает грани многогранника, которые имеют ровно ${ displaystyle i}$ стороны. Трехмерный выпуклый многогранник считается простым, когда каждое вершина многогранника инцидентно ровно трем ребрам. В простом многоугольнике каждая вершина инцидентна трем углам граней, а каждое ребро инцидентно двум сторонам граней. Поскольку числа углов и сторон граней даны, можно вычислить три числа ${ displaystyle v}$ (общее количество вершин), ${ displaystyle e}$ (общее количество ребер) и ${ displaystyle f}$ (общее количество граней) путем суммирования по всем граням и умножения на соответствующий коэффициент:^[1]

{ displaystyle v = { frac {1} {3}} sum _ {i} i , p_ {i},}

{ displaystyle e = { frac {1} {2}} sum _ {i} i , p_ {i},}

и

{ displaystyle f = sum _ {i} p_ {i}.}

Вставляя эти значения в Формула полиэдра Эйлера ${ displaystyle v-e + f = 2}$ и очистка знаменателей приводит к уравнению

{ Displaystyle сумма _ {я} (6-я) р_ {я} = 12,}

которому должно удовлетворять количество граней каждого простого многогранника. Однако на это уравнение не влияет значение ${ displaystyle p_ {6}}$ (как его множитель ${ displaystyle 6-i}$ равен нулю), а для некоторых вариантов выбора другого лица учитывается изменение ${ displaystyle p_ {6}}$ может изменить, существует ли многогранник с таким количеством граней. То есть соблюдение этого уравнения при подсчете граней является необходимым условием для существования многогранника, но не достаточным условием, и полная характеристика того, какое количество граней реализуемо, потребует учета значения ${ displaystyle p_ {6}}$ .^[1]

Из теоремы Эберхарда следует, что приведенное выше уравнение - единственное необходимое условие, которое не зависит от ${ displaystyle p_ {6}}$ . В нем говорится, что если присвоение номеров ${ displaystyle p_ {3}, p_ {4}, p_ {5}, p_ {7}, dots}$ (опуская ${ displaystyle p_ {6}}$ ) подчиняется уравнению

{ Displaystyle сумма _ {я} (6-я) р_ {я} = 12,}

тогда существует значение ${ displaystyle p_ {6}}$ и простой выпуклый многогранник с точно ${ displaystyle p_ {i}}$ ${ displaystyle i}$ -сторонние лица для всех ${ displaystyle i}$ .^[1]

Примеры

Есть три простых Платоновы тела, то тетраэдр, куб, и додекаэдр. Тетраэдр имеет ${ displaystyle p_ {3} = 4}$ , куб имеет ${ displaystyle p_ {4} = 6}$ , а додекаэдр имеет ${ displaystyle p_ {5} = 12}$ , со всеми другими значениями ${ displaystyle p_ {i}}$ быть нулевым. Эти три присвоения номеров ${ displaystyle p_ {i}}$ все подчиняются уравнению, которое требует от них теорема Эберхарда. Существование этих многогранников показывает, что для этих трех присвоений чисел ${ displaystyle p_ {i}}$ , существует многогранник с ${ displaystyle p_ {6} = 0}$ . Случай додекаэдра с ${ displaystyle p_ {5} = 12}$ и все остальные, кроме ${ displaystyle p_ {6}}$ ноль, описывает в более общем смысле фуллерены. Нет фуллерена с ${ displaystyle p_ {6} = 1}$ но эти графики возможны для любого другого значения ${ displaystyle p_ {6}}$ ;^[4] см., например, 26-фуллереновый граф, с ${ displaystyle p_ {6} = 3}$ .

Шестиугольник делит куб пополам на две копии простого многогранника с одной шестиугольной гранью, тремя равнобедренными прямоугольными треугольными гранями и тремя неправильными пятиугольными гранями. Невозможно сформировать простой многогранник, используя только три треугольника и три пятиугольника, без добавленного шестиугольника.

Не существует простого выпуклого многогранника с тремя треугольными гранями, тремя гранями пятиугольника и никакими другими гранями. То есть невозможно иметь простой выпуклый многогранник с ${ displaystyle p_ {3} = p_ {5} = 3}$ , и ${ displaystyle p_ {i} = 0}$ за ${ Displaystyle я notin {3,5 }}$ . Однако теорема Эберхарда утверждает, что можно сформировать простой многогранник, добавив некоторое количество шестиугольников, и в этом случае достаточно одного шестиугольника: деление куба пополам на правильном шестиугольнике, проходящем через шесть его граней, дает две копии простого шестиугольника. многогранник без крыши с тремя треугольными гранями, тремя гранями пятиугольника и одной гранью шестиугольника. То есть установка ${ displaystyle p_ {6} = 1}$ в этом случае достаточно для получения осуществимой комбинации подсчетов лиц.^[5]

Связанные результаты

Аналогичный результат теоремы Эберхарда верен для существования многогранников, в которых все вершины инцидентны ровно четырем ребрам. В этом случае на уравнение, полученное из формулы Эйлера, не влияет число ${ displaystyle p_ {4}}$ четырехугольников, и для каждого присвоения количеству граней других типов, которое подчиняется этому уравнению, можно выбрать количество четырехугольников, которое позволяет реализовать 4-правильный многогранник.^[1]

Усиленная версия теоремы Эберхарда утверждает, что при тех же условиях, что и исходная теорема, существует число ${ displaystyle m}$ такой, что все варианты ${ displaystyle p_ {6}}$ которые больше чем равны ${ displaystyle m}$ и имеют ту же четность, что и ${ displaystyle m}$ реализуемы простыми выпуклыми многогранниками.^[6]

Теорема о Дэвид В. Барнетт обеспечивает нижняя граница от количества необходимых шестиугольников, если количество граней седьмого или более высокого порядка не менее трех. В нем говорится, что в этих случаях

{ displaystyle p_ {6} geq 2 + { frac {p_ {3}} {2}} - { frac {p_ {5}} {2}} - sum _ {i> 6} p_ {i }.}

Для многоугольников с небольшим количеством пятиугольников и большим количеством граней высокого порядка это неравенство может привести к тому, что количество шестиугольников будет произвольно большим. Более того, его можно использовать для поиска присвоений номерам граней, для которых требуемое количество шестиугольников не может быть ограничено какой-либо функцией максимального количества сторон грани.^[7]

Аналоги теоремы Эберхарда также были изучены для других систем граней и подсчетов граней, кроме простых выпуклых многогранников, например для тороидальные графы^[8] и для мозаика.^[9]

Теорема Эберхардса - Википедия - Eberhards theorem

Содержание

Определения и заявление

Примеры

Связанные результаты

Смотрите также

Рекомендации