Протокол Эдмондса – Пруха - Edmonds–Pruhs protocol

Протокол Эдмондса – Пруса это протокол для ярмарка разрезания торта. Его цель - создать частично пропорциональное деление разнородного ресурса среди п человек, так что каждый человек получает подмножество торта, которое этот человек оценивает как минимум как 1 /ан от общего количества, где ${ displaystyle a geq 10}$ - некоторая достаточно большая постоянная. Это рандомизированный алгоритм время работы которого O (п) с вероятностью, близкой к 1. Протокол разработан Джефф Эдмондс и Кирк Прухс, который позже улучшил его в совместной работе с Джайсинг Соланки.

Мотивация

Пропорционального разделения торта можно добиться с помощью рекурсивное уменьшение вдвое алгоритм за время O (п бревноп). Несколько результаты твердости показывают, что это время выполнения является оптимальным при самых разных предположениях. В частности, рекурсивное деление пополам - это самый быстрый из возможных алгоритмов для достижения полной пропорциональности, когда части должны быть смежными, и самый быстрый из возможных детерминированных алгоритмов для достижения даже частичной пропорциональности, даже когда части могут быть разъединены. Один случай, который не охвачен результатами измерения твердости, - это случай рандомизированные алгоритмы, гарантируя только частичная пропорциональность и с возможно отключенные части. Протокол Эдмондса – Пруса нацелен на предоставление алгоритма с временем выполнения O (п) для этого случая.

Протокол

Общая схема выглядит следующим образом:^[1]

1. Каждый партнер в частном порядке разделяет торт на ан штуки равной субъективной ценности. Эти п ⋅ ан части называются кандидаты.
2. Каждый партнер выбирает 2d фигуры кандидатов равномерно случайным образом, с заменой (d - константа, которая будет определена позже). Кандидаты сгруппированы в d пары, которые партнер сообщает алгоритму. Эти nd пары называются четвертьфинальные сетки.
3. Из каждой четвертьфинальной сетки алгоритм выбирает один кусок - кусок, который пересекает меньшее количество других фигур-кандидатов. Эти п ⋅ d части называются полуфиналы.
4. Для каждого партнера алгоритм выбирает одну деталь; они называются финальные части. Последние части выбираются таким образом, чтобы каждая точка торта была покрыта не более чем двумя финальными кусочками (см. Ниже). В случае успеха переходите к шагу №5. Если это не удается, начните заново с шага №1.
5. Каждая часть торта, принадлежащая только одному финальному куску, передается владельцу этого куска. Каждая часть торта, принадлежащая двум последним кускам, делится пропорционально любым детерминированным алгоритмом пропорционального деления.

Алгоритм гарантирует, что с высокой вероятностью каждый партнер получит как минимум половину одной из своих фигур-кандидатов, что подразумевает (если значения складываются) значение как минимум 1/2.ан.

Есть O (п) кандидаты и O (п) дополнительные деления на шаге 5, каждое из которых занимает O (1) раз. Следовательно, общее время выполнения алгоритма составляет O (п).

Основная проблема в этой схеме - выбрать последние части на шаге №4:

Начните с создания граф импликации: граф, узлами которого являются полуфинальные части, а есть ребро из части я партнера я к части J партнера j если кусок я пересекает Другой кусок партнера j (следовательно, если мы выберем кусок я и чтобы избежать пересечения, мы должны выбрать кусок J тоже).

Выберите произвольного партнера я который еще не получил кусок, и выберите произвольный кусок я этого партнера в качестве заключительной части. Затем перейдите по ссылкам в графе импликации и выберите в качестве последних частей все части, которые достижимы из я. Есть два хороших сценария: либо мы выделяем по одной финальной части каждому партнеру, и все готово, либо мы добавляем кусок без исходящих ссылок (что означает, что он не пересекает другие части). В последнем случае мы просто выбираем еще один кусок одного из оставшихся партнеров и продолжаем. Плохой сценарий состоит в том, что наш обход приводит нас к двум разным частям одного и того же партнера или, что эквивалентно, к другой части партнера. я с кого мы начали. Такой путь, ведущий от одного куска партнера я другой части того же партнера, называется парный путь. Если граф импликации не содержит парных путей, то только что описанный алгоритм выбора возвращает набор п неперекрывающиеся финальные части, и мы готовы. Теперь осталось вычислить вероятность того, что граф импликации содержит парный путь.

Во-первых, рассмотрим особый случай, когда все партнеры одинаковый функция ценности (и, следовательно, тот же самый набор частей-кандидатов). В этом случае вероятность парного пути легко вычислить: поскольку вероятность каждого ребра равна 1 /ан, а все ребра независимы, вероятность конкретного парного пути длиной k равно 1 / (ан)^k, а вероятность любого парного пути не превосходит:

${ displaystyle sum _ {k} { frac {(2dn)!} {(2dn-k)! (an) ^ {k}}} = O left ({ frac {1} {a ^ {2 }}}верно)}$

Выбрав d= 1 и а достаточно большой, можно сделать эту вероятность сколь угодно малой. Это верно, даже если мы опустим этап отбора в полуфинал (№3) и просто возьмем все части четвертьфинала как полуфинал.

Отметим, что этот случай аналогичен шары в мусорные ведра модель. Это доказывает, что если d корзины выбираются случайным образом для каждого шара, затем можно выбрать одну корзину для каждого шара, чтобы все ячейки были разными (максимальная загрузка равна 1).

В общей модели пирога, где функции ценности различны, вероятности ребер в графе импликации являются зависимыми. но благодаря фазе полуфинального выбора мы можем доказать, что вероятность того, что граф импликации содержит парный путь длиной не менее 3, не превышает ${ displaystyle { frac {32d ^ {5}} {a ^ {2} cdot (a-4d ^ {2})}}}$.

Осталось обработать парные пути длины 2. К сожалению, вероятностью наличия таких парных путей в графе импликации пренебречь нельзя. Однако с высокой вероятностью можно разделить партнеров на две группы, так что в каждой группе нет парного пути длиной 2. Следовательно, мы можем запустить алгоритм окончательного выбора дважды: один раз для каждой группы. Пересечение может происходить только между финальными частями разных групп; следовательно, перекрытие в каждой точке торта не превосходит 2. Вероятность того, что такое 2-разбиение будет нет возможно это самое большее ${ displaystyle { frac {16d ^ {3}} {a ^ {3}}} + { frac {8d ^ {2}} {a ^ {2}}}}$.

Суммируя два приведенных выше выражения и задавая d = 2, получаем, что вероятность отказа все еще ${ displaystyle O left ({ frac {1} {a ^ {2}}} right)}$. Напомним, что а - это коэффициент пропорциональности - чем большую ценность мы хотим гарантировать каждому партнеру, тем больше вероятность того, что разделение не удастся, и нам придется начинать заново с шага №1.

Тот же алгоритм работает и тогда, когда разрезы являются приблизительными, т.е. партнеры не знают, как пометить части с точно таким же значением; они могут пометить кусок ценностью п процентов выше или ниже требуемого значения, где точная ошибка выбирается случайным образом.^[1]

Протокол с высокой степенью достоверности

Еще больше снизить вероятность выхода из строя можно по следующей схеме:^[2]

• Сделайте два независимых прогона исходного протокола.
• В каждом прогоне удаляйте каждого партнера, который появляется в начале пути пары, и выделяйте последние части только оставшимся партнерам, как в исходном протоколе.
• Если для каждого партнера есть хотя бы один заезд, в котором он не был удален, то мы закончили, так как каждый партнер теперь имеет хотя бы одну последнюю фигуру.

Вероятность удаления определенного партнера в каждом забеге составляет ${ Displaystyle О влево ({ гидроразрыва {1} {п}} вправо)}$. Вероятность удаления определенного партнера в обоих забегах равна ${ displaystyle O left ({ frac {1} {n ^ {2}}} right)}$. Следовательно, вероятность отказа равна ${ displaystyle O left ({ frac {n} {n ^ {2}}} right) = O left ({ frac {1} {n}} right)}$, который переходит в 0, когда п увеличивается, даже когда частичный коэффициент пропорциональности а остается постоянным.

Связанные проблемы

Модель торта можно рассматривать как обобщение шары в мусорные ведра модель. Эта модель нашла широкое применение в таких областях, как Балансировка нагрузки. В этих ситуациях мяч представляет собой задание, которое может быть назначено различным бункерам / машинам. Грубо говоря, балансировка нагрузки идентичных машин относится к шарикам и бункерам, а балансировка нагрузки на несвязанных машинах - к нарезке торта. Следовательно, разумно, чтобы модель пирога и протокол Эдмондса – Пруса имели интересные приложения в настройках, включающих балансировку нагрузки на несвязанных машинах.^[1]

Рекомендации