Пропорциональное деление - Proportional division

А пропорциональное деление это своего рода справедливое разделение в котором ресурс разделен между п партнеры с субъективными оценками, давая каждому партнеру не менее 1 /п ресурса по его субъективной оценке.

Соразмерность была первым критерием справедливости, изученным в литературе; поэтому его иногда называют «простым справедливым делением». Впервые он был задуман Штайнхаусом.^[1]

Пример

Рассмотрим земельный актив, который необходимо разделить между 3 наследниками: Алиса и Боб, которые думают, что он стоит 3 миллиона долларов, и Джордж, который считает, что он стоит 4,5 миллиона долларов. При пропорциональном делении Алиса получает земельный участок, который, по ее мнению, стоит не менее 1 миллиона долларов, Боб получает земельный участок, который он считает, что его стоимость составляет не менее 1 миллиона долларов (хотя Алиса может думать, что он стоит меньше), а Джордж получает земельный участок, который, по его мнению, стоит не менее 1,5 миллиона долларов.

Существование

Пропорциональное деление существует не всегда. Например, если ресурс содержит несколько неделимых элементов, а количество людей больше, чем количество элементов, то некоторые люди вообще не получат ни одного элемента, и их ценность будет равна нулю. Тем не менее такое разделение существует с высокой вероятностью для неделимых объектов при определенных предположениях относительно оценок агентов.^[2]

Более того, пропорциональное деление гарантированно существует при выполнении следующих условий:

Оценки игроков неатомный, т.е. не существует неделимых элементов с положительным значением.
Оценки игроков добавка, то есть, когда кусок разделен, ценность части равна сумме его частей.

Следовательно, пропорциональное деление обычно изучается в контексте ярмарка разрезания торта. Видеть пропорциональная резка торта для получения подробной информации о процедурах достижения пропорционального деления при нарезке торта.

Более мягкий критерий справедливости частичная пропорциональность, в котором каждый партнер получает определенную долю ж(п) от общей стоимости, где ж(п) ≤ 1/п. Частично пропорциональное деление существует (при определенных условиях) даже для неделимых элементов.

Варианты

Сверхпропорциональное деление

А сверхпропорциональное деление это разделение, в котором каждый партнер получает строго больше 1 /п ресурса по собственной субъективной оценке.

Конечно, такое разделение существует не всегда: когда все партнеры имеют одни и те же ценностные функции, лучшее, что мы можем сделать, это дать каждому партнеру ровно 1 /п. Таким образом, необходимым условием существования суперпропорционального деления является то, что не все партнеры имеют одинаковую меру ценности.

Удивительный факт заключается в том, что, когда оценки являются аддитивными и неатомарными, этого условия также достаточно. Т.е., когда есть хотя бы два партнеров, функция ценности которых даже немного отличается, то существует сверхпропорциональное деление, в котором все партнеры получают более 1 /п. Видеть сверхпропорциональное деление для подробностей.

Отношение к другим критериям справедливости

Связь между соразмерностью и свободой от зависти

Пропорциональность (PR) и зависть (EF) - два независимых свойства, но в некоторых случаях одно из них может подразумевать другое.

Когда все оценки аддитивные функции множества и весь торт разделен, имеют место следующие последствия:

С двумя партнерами PR и EF эквивалентны;
С тремя и более партнерами EF подразумевает пиар, но не наоборот. Например, возможно, что каждый из трех партнеров получает 1/3 по своему субъективному мнению, но, по мнению Алисы, доля Боба стоит 2/3.

Когда оценки только субаддитив, EF по-прежнему подразумевает PR, но PR больше не подразумевает EF даже с двумя партнерами: возможно, что доля Алисы стоит 1/2 в ее глазах, но доля Боба стоит даже больше. Напротив, когда оценки только супераддитив, PR по-прежнему подразумевает EF с двумя партнерами, но EF больше не подразумевает PR даже с двумя партнерами: возможно, что доля Алисы стоит 1/4 в ее глазах, но доля Боба стоит еще меньше. Точно так же, когда не весь торт разделен, EF больше не подразумевает PR. Последствия суммированы в следующей таблице:

Оценки	2 партнера	3+ партнера
Добавка	${ displaystyle EF подразумевает PR}$ ${ displaystyle PR подразумевает EF}$	${ displaystyle EF подразумевает PR}$
Субаддитивный	${ displaystyle EF подразумевает PR}$	${ displaystyle EF подразумевает PR}$
Супераддитив	${ displaystyle PR подразумевает EF}$	-
Общий	-	-

Стабильность к добровольным обменам

Одним из преимуществ критерия соразмерности перед «завистью» и аналогичными критериями является то, что он стабилен в отношении добровольных обменов.

В качестве примера предположим, что определенная земля разделена между 3 партнерами: Алисой, Бобом и Джорджем в пропорциональном и свободном от зависти делении. Несколько месяцев спустя Алиса и Джордж решают объединить свои земельные участки и разделить их более выгодным для них способом. С точки зрения Боба, деление по-прежнему пропорционально, поскольку он по-прежнему имеет субъективную ценность не менее 1/3 от общей суммы, независимо от того, что Алиса и Джордж делают со своими графиками. С другой стороны, новому дивизиону не позавидуешь. Например, возможно, что изначально и Алиса, и Джордж получили земельный участок, который Боб субъективно оценивает как 1/3, но теперь, после передела, Джордж получил всю ценность (в глазах Боба), так что теперь Боб завидует Джорджу.

Следовательно, использование свободы от зависти в качестве критерия справедливости подразумевает, что мы должны ограничить право людей на добровольный обмен после разделения. Использование пропорциональности в качестве критерия справедливости не имеет таких негативных последствий.

Индивидуальная рациональность

Дополнительным преимуществом пропорциональности является то, что она совместима с индивидуальная рациональность в следующем смысле. Предполагать п партнеры владеют общим ресурсом. Во многих практических сценариях (хотя и не всегда) партнеры имеют возможность продать ресурс на рынке и разделить доходы таким образом, чтобы каждый партнер получил ровно 1 /п. Следовательно, рациональный партнер согласится участвовать в процедуре разделения, только если процедура гарантирует, что он получит не менее 1 /п от его общей стоимости.

Кроме того, должна быть по крайней мере вероятность (если не гарантия), что партнер получит более 1 /п; это объясняет важность теорем существования сверхпропорциональное деление.