Эгалитарная эквивалентность - Википедия - Egalitarian equivalence

Эгалитарная эквивалентность (EE) является критерием справедливое разделение. В эгалитарно-эквивалентном подразделении существует некий «эталонный набор». ${ displaystyle Z}$ таким образом, чтобы каждый агент чувствовал, что его / ее доля эквивалентна ${ displaystyle Z}$ .

Принцип справедливости ЭЭ обычно сочетается с Парето эффективность. А PEEEA это распределение, которое одновременно Парето эффективный и эгалитарный эквивалент.

Определение

Набор ресурсов разделен между несколькими агентами, так что каждый агент ${ displaystyle i}$ получает пачку ${ displaystyle X_ {i}}$ . Каждый агент ${ displaystyle i}$ имеет субъективный отношение предпочтений ${ displaystyle successq _ {я}}$ который является общий заказ по пачке. Эти отношения предпочтения порождают отношение эквивалентности обычным образом: ${ Displaystyle X sim _ {я} Y}$ если только ${ Displaystyle X successq _ {я} Y successq _ {я} X}$ .

Распределение называется эгалитарный эквивалент если существует связка ${ displaystyle Z}$ такое, что для всех ${ displaystyle i}$ :

{ Displaystyle X_ {я} sim _ {я} Z}

Распределение называется PEEEA если это оба Парето-эффективный и равноправный эквивалент.

Мотивация

Критерий EE был введен Элиша Пазнер и Давид Шмейдлер в 1978 г.^[1] ^[2]

Ранее основным критерием справедливости в экономике было зависть (EF). Заслуга EF в том, что это порядковый критерий --- он может быть определен только на основе индивидуальных предпочтений-отношений; нет необходимости сравнивать полезности различных агентов или предполагать, что функции полезности агентов нормализованы. Однако EF может быть несовместим с Парето эффективность (ПЭ). В частности, в стандартной экономике с производством может не быть распределения, которое является одновременно PE и EF.^[3]

EE, как и EF, является порядковым критерием - он может быть определен только на основе индивидуальных отношений предпочтений. Однако он всегда совместим с PE - PEEEA (распределение PE и EE) всегда существует, даже в производственных экономиках. Пазнер и Шмейдлер неформально описывают PEEEA следующим образом:

«Рассмотрим случай, когда есть два потребителя и два товара (но обратите внимание, что каждый шаг в аргументе переносится на любое количество агентов и товаров ...). Предположим, что каждому потребителю дается ровно половина от общего объема обеспеченности. Это уравнительное распределение в общем случае не будет PE. Рассмотрим луч в товарном пространстве, который идет от источника через вектор совокупных ресурсов. эгалитарный распределение представлено тем, что каждому человеку дается один и тот же пучок на этом луче.

Если эгалитарное распределение не является PE, то (благодаря монотонности и непрерывности предпочтений) перемещение каждого человека немного вверх по лучу дает распределения полезностей, которые все еще возможны, поскольку начальное распределение полезности находится внутри множества возможностей полезности. В частности, если мы одновременно продвигаем каждого человека вверх по товарному лучу точно таким же образом, мы в конечном итоге достигнем распределения полезности, лежащего на границе возможностей полезности. Это означает, что существует эффективное по Парето распределение, которое эквивалент с точки зрения каждого потребителя к гипотетическому (невозможному) распределению по лучу, которое дало бы каждому потребителю один и тот же набор (что, будучи строго большим, чем эгалитарное распределение совокупных ресурсов, само по себе невозможно). Таким образом, это выделение PE эквивалент эгалитарного распределение в гипотетической (большей, чем исходной) экономике ...

Результирующий набор распределений - это то, что мы называем набором эффективных по Парето и равноправных распределений (PEEEA). Это ограничение Парето-множества экономики теми распределениями, которые имеют указанное свойство долевого участия, что их базовое распределение уровней полезности могло быть порождено некоторой эгалитарной экономикой ».

Отношение к критерию максимина

В качестве частного случая предположим, что существует конечное число однородных делимых товаров. Позволять ${ displaystyle W}$ быть определенной связкой. Для каждого ${ Displaystyle г в [0,1]}$ , позволять ${ displaystyle rW}$ быть набором, в котором количество каждого товара ${ displaystyle r}$ умножает его количество в ${ displaystyle W}$ .

Предположим, что отношение предпочтений каждого агента ${ displaystyle i}$ представлена функцией полезности ${ displaystyle V_ {i}}$ , который откалиброван таким образом, чтобы: ${ displaystyle V_ {i} (rW) = r}$ Тогда особый случай распределения EE - это распределение, при котором для всех ${ displaystyle i}$ :

{ displaystyle V_ {i} (X_ {i}) = r}

Другими словами, все агенты имеют одинаковую откалиброванную полезность. В этом случае эффективное по Парето распределение EE (PEEEA) совпадает с Максимин распределение - распределение, которое максимизирует минимальную полезность.

Обратите внимание, что принцип максимина зависит от числовой полезности. Следовательно, его нельзя использовать напрямую с порядковыми отношениями предпочтений. Принцип EE является порядковым и предлагает конкретный способ калибровки утилит, чтобы их можно было использовать с принципом максимина.

В частном случае, когда ${ displaystyle W}$ - это совокупность всех ресурсов (совокупный вклад), эквивалентное уравнение деление также называется справедливое разделение.

Эрве Мулен описывает этот частный случай правила EE следующим образом:^[4]^:242

«Решение EE уравнивает между агентами полезности, измеренные вдоль« числового диапазона »товарной группы, которая будет разделена. Другими словами, это решение дает каждому участнику распределение, которое он или она считает эквивалентным (с его или ее собственными предпочтениями) к той же доле пирога, где «пирог» означает ресурсы, которые необходимо разделить, а доля - это гомотетическое сокращение пирога - это такая же доля от общего доступного количества каждого товара ».

Пример

Следующий пример основан на.^[4]^:240–243

Есть три города, A B и C.
Есть дорога от A до B и дорога от B до C.
Каждая дорога может нести в общей сложности 100 единиц движения.
Всего имеется 100 агентов: 40 необходимо передавать трафик от A к B, 30 от B к C и 30 от A к C.
Полезность каждого агента равна объему трафика, который ему разрешено передавать. Итак, если агент получает x единиц AB и y единиц BC, его полезность равна Икс (если он в группе АВ), у (если он в группе BC), или мин (х, у) (если он в группе AC).

Вопрос в том, как разделить 100 единиц мощности на каждой дороге между 100 агентами? Вот несколько возможных решений.

Предположим, мы даем каждому агенту связку ${ Displaystyle (х = 1, у = 1)}$ , то есть по одной единице каждой дороги (так что его полезность равна 1). Это подразделение эгалитарный, но это, очевидно, не PE, поскольку агенты AB и агенты BC могут улучшить свое благосостояние, торгуя своими акциями на дорогах, которые им не нужны.
Предположим, мы хотим дать каждому агенту полезность $р$ , для некоторых ${ displaystyle r> 1}$ . Затем мы должны выделить ${ displaystyle 40r + 30r}$ единиц АВ и ${ displaystyle 30r + 30r}$ единиц БК. Мы можем выделить не более 100 единиц каждой дороги; следовательно ${ displaystyle r leq 100/70 = 30/21 приблизительно 1,43}$ . Дивизион, в котором агенты AB получают 30/21 единиц AB, агенты BC получают 30/21 единиц BC, а агенты AC получают 30/21 единиц обеих дорог, является эгалитарный эквивалент, так как каждому агенту безразлична его доля и постоянный пакет ${ Displaystyle (х = 30/21, y = 30/21)}$ . Это также справедливое разделение, поскольку нормализованная полезность каждого агента составляет 30/21. Однако это разделение все еще не является PE: оно выделяет 100 единиц AB, а только 600/7 единиц BC.
Мы можем сделать вышеупомянутое деление PE, отдав оставшиеся единицы BC агентам BC; это улучшает их полезность для ${ displaystyle 40/21 приблизительно 1,90}$ без вреда для других агентов. В результирующем распределении каждому агенту безразлична его доля и постоянный пакет. ${ Displaystyle (х = 30/21, y = 40/21)}$ . Следовательно, это разделение также равнозначно эгалитарному. Теперь все мощности распределены и разделение - ЧП; поэтому это PEEEA. Обратите внимание, что полученное распределение лексимин-оптимальный - он максимизирует полезность самых бедных агентов и при этом максимизирует полезность других агентов.

Вариант

Рассмотрим теперь следующий вариант приведенного выше примера. Полезности агентов AB и BC такие же, как указано выше, но полезность агентов AC при получении x единиц AB и y единиц BC теперь равна (х + у) / 2. Обратите внимание, что это нормализовано так, что их полезность от единицы каждого ресурса равна 1.

Предположим, мы хотим дать каждому агенту полезность $р$ , для некоторых ${ displaystyle r> 1}$ . Затем мы должны выделить ${ displaystyle 40r + 30x}$ единиц АВ и ${ displaystyle 30r + 30y}$ единиц БК, где ${ displaystyle x + y = 2r}$ . Поскольку имеется 100 единиц каждого товара, мы имеем ${ displaystyle r leq 200/130 = 60/39 приблизительно 1,54}$ . Дивизион, в котором агенты AB получают 60/39 единиц AB, агенты BC получают 60/39 единиц BC, а агенты AC получают 50/39 единиц AB плюс 70/39 BC, является EE, поскольку каждый агент безразличен. между его долей и постоянной связкой ${ Displaystyle (х = 60/39, y = 60/39)}$ . Это также справедливо, поскольку полезность всех агентов составляет 60/39. Это также PE, следовательно, это PEEEA. К сожалению, это не EF, поскольку агенты BC завидуют агентам AC. Более того, связка агента AC доминирует над связкой агента BC: они получают больше каждого ресурса, что кажется довольно несправедливым.
Вместо того, чтобы брать эталонный комплект с равным количеством каждого ресурса (r, r), мы можем взять эталонный комплект с разными количествами (r, s). Затем мы должны выделить ${ displaystyle 40r + 30x}$ единиц АВ и ${ displaystyle 30s + 30y}$ единиц БК, где ${ displaystyle x + y = r + s}$ . Поскольку имеется 100 единиц каждого товара, мы имеем ${ displaystyle 70r + 60s leq 200}$ . Сочетание этого с условием свободы от зависти дает ${ Displaystyle r = 100/70 = 30/21 примерно 1,43, s = 100/60 = 35/21 примерно 1,67}$ . Дивизион, в котором агенты AB получают 30/21 единиц AB, агенты BC получают 35/21 единиц BC, а агенты AC получают 30/21 единиц AB плюс 35/21 BC, является EE, поскольку каждый агент безразлично между его долей и постоянным пакетом ${ Displaystyle (х = 30/21, y = 35/21)}$ . Это тоже ПЭ, значит, это ПЭЭА. Это тоже EF, так что это тоже PEEFA. Однако это несправедливо: относительная полезность агентов AB равна ${ displaystyle 30/21 приблизительно 1,43}$ , агентов BC - ${ displaystyle 35/21 приблизительно 1,67}$ , а из агентов AC - ${ displaystyle 32,5 / 21 приблизительно 1,54}$ .

Подводя итог: в этом примере разделитель, который верит в важность равноправия равноправия, должен выбирать между справедливостью и свободой от зависти.

EE и EF

Когда есть два агента, набор выделений PEEE содержит набор выделений PEEF. Преимущество PEEEA в том, что они существуют даже тогда, когда нет PEEFA.^[1]

Однако с тремя или более агентами набор выделений PE, которые являются как EE, так и EF, может быть пустым. Так обстоит дело как в экономиках обмена с однородными делимыми ресурсами.^[5]и в странах с неделимой экономикой.^[6]

Характеристики

В особом случае, когда эталонный комплект содержит постоянную долю каждого товара, правило PEEEA имеет еще несколько желательных свойств:^[4]^:248–251

соразмерность: каждый агент считает, что его доля не хуже, чем набор, содержащий ${ displaystyle 1 / n}$ каждого ресурса.
Монотонность населения: когда агент покидает место происшествия и ресурсы перераспределяются в соответствии с одним и тем же правилом, положение каждого из оставшихся агентов становится слабее.

Однако у него отсутствуют некоторые другие желательные свойства:

зависть: даже если все агенты считают, что их пакет эквивалентен одному и тому же эталонному пакету, они все равно могут полагать, что другой пакет стоит больше, чем их.
монотонность ресурса: когда для распределения доступно больше ресурсов и ресурсы перераспределяются в соответствии с одним и тем же правилом, некоторым агентам может быть хуже.

В некоторых настройках правило PEEEA эквивалентно правилу Калаи-Смородинский вариант торга.^[4]^:275