Перечислительная комбинаторика - Википедия - Enumerative combinatorics

Перечислительная комбинаторика это область комбинаторика это касается количества способов, которыми могут быть сформированы определенные шаблоны. Двумя примерами такого типа проблем являются подсчет комбинации и считаю перестановки. В более общем смысле, учитывая бесконечный набор конечных множеств S_я индексируется натуральные числа, перечислительная комбинаторика стремится описать функция подсчета который подсчитывает количество объектов в S_п для каждого п. Несмотря на то что подсчет количество элементов в наборе довольно велико математическая проблема, многие проблемы, возникающие в приложениях, имеют относительно простые комбинаторный описание. В двенадцатикратный путь обеспечивает единую основу для подсчета перестановки, комбинации и перегородки.

Простейшие такие функции: закрытые формулы, который может быть выражен как композиция элементарных функций, таких как факториалы, полномочия и так далее. Например, как показано ниже, количество различных возможных порядков колоды п карты это ж(п) = п!. Проблема поиска замкнутой формулы известна как алгебраическое перечисление, и часто включает в себя получение отношение повторения или же производящая функция и используя это, чтобы прийти к желаемой закрытой форме.

Часто сложная замкнутая формула дает мало информации о поведении счетной функции при увеличении числа подсчитываемых объектов. В этих случаях простой асимптотический приближение может быть предпочтительнее. Функция ${ Displaystyle г (п)}$ является асимптотическим приближением к ${ Displaystyle f (п)}$ если ${ Displaystyle е (п) / г (п) rightarrow 1}$ в качестве ${ Displaystyle п rightarrow infty}$ . В этом случае мы пишем ${ Displaystyle е (п) сим г (п). ,}$

Производящие функции

Производящие функции используются для описания семейств комбинаторных объектов. Позволять ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ обозначим семейство объектов и пусть F(Икс) - его производящая функция. потом

{ Displaystyle F (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} f_ {n} x ^ {n}}

куда ${ displaystyle f_ {n}}$ обозначает количество комбинаторных объектов размером п. Количество комбинаторных объектов размера п поэтому определяется коэффициентом при ${ Displaystyle х ^ {п}}$ . Теперь будут разработаны некоторые общие операции с семействами комбинаторных объектов и их влияние на производящую функцию. Иногда также используется экспоненциальная производящая функция. В этом случае он будет иметь вид

{ displaystyle F (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} f_ {n} { frac {x ^ {n}} {n!}}}

После определения производящая функция дает информацию, полученную с помощью предыдущих подходов. Кроме того, различные естественные операции над производящими функциями, такие как сложение, умножение, дифференцирование и т. Д., Имеют комбинаторное значение; это позволяет расширить результаты одной комбинаторной задачи для решения других.

Союз

Учитывая два комбинаторных семейства, ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ и ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ с производящими функциями F(Икс) и грамм(Икс) соответственно несвязное объединение двух семейств ( ${ Displaystyle { mathcal {F}} чашка { mathcal {G}}}$ ) имеет производящую функцию F(Икс) + грамм(Икс).

Пары

Для двух комбинаторных семейств, как указано выше, декартово произведение (пара) двух семейств ( ${ Displaystyle { mathcal {F}} times { mathcal {G}}}$ ) имеет производящую функцию F(Икс)грамм(Икс).

Последовательности

Последовательность обобщает идею пары, как определено выше. Последовательности произвольные Декартовы произведения комбинаторного объекта с самим собой. Формально:

{ Displaystyle { mbox {Seq}} ({ mathcal {F}}) = epsilon cup { mathcal {F}} cup { mathcal {F}} times { mathcal { F}} cup { mathcal {F}} times { mathcal {F}} times { mathcal {F}} cup cdots}

Чтобы выразить вышесказанное словами: пустая последовательность, или последовательность из одного элемента, или последовательность из двух элементов, или последовательность из трех элементов, и т. Д., Генерирующая функция будет выглядеть так:

{ Displaystyle 1 + F (x) + [F (x)] ^ {2} + [F (x)] ^ {3} + cdots = { frac {1} {1-F (x)}} }

Комбинаторные структуры

Вышеупомянутые операции теперь можно использовать для перечисления общих комбинаторных объектов, включая деревья (двоичные и плоские), Дайковые тропы и циклы. Комбинаторная структура состоит из атомов. Например, в случае деревьев атомы будут узлами. Атомы, составляющие объект, могут быть помечены или не помечены. Немеченые атомы неотличимы друг от друга, а меченые атомы различны. Следовательно, для комбинаторного объекта, состоящего из меченых атомов, новый объект может быть сформирован простой заменой двух или более атомов.

Двоичные и плоские деревья

Двоичный и плоский деревья являются примерами комбинаторной структуры без меток. Деревья состоят из узлов, соединенных ребрами таким образом, чтобы не было циклов. Обычно существует узел, называемый корнем, у которого нет родительского узла. В плоских деревьях каждый узел может иметь произвольное количество дочерних элементов. В бинарных деревьях, частном случае плоских деревьев, каждый узел может иметь двух или не иметь потомков. Позволять ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ обозначим семейство всех плоских деревьев. Тогда это семейство можно рекурсивно определить следующим образом:

{ Displaystyle { mathcal {P}} = { bullet } times { mbox {Seq}} ({ mathcal {P}})}

В этом случае ${ displaystyle { bullet }}$ представляет собой семейство объектов, состоящее из одного узла. Это производящая функция Икс. Позволять п(Икс) обозначим производящую функцию ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ .Вставим приведенное выше описание словами: Плоское дерево состоит из узла, к которому присоединено произвольное количество поддеревьев, каждое из которых также является плоским деревом. Используя операцию над семействами комбинаторных структур, разработанную ранее, это переводится в рекурсивную производящую функцию:

{ Displaystyle P (x) = x { frac {1} {1-P (x)}}}

После решения для п(Икс):

{ displaystyle P (x) = { frac {1 - { sqrt {1-4x}}} {2}}}

Явная формула для количества плоских деревьев размером п теперь можно определить, извлекая коэффициент при Икс^п.

{ displaystyle { begin {align} p_ {n} & = [x ^ {n}] P (x) = [x ^ {n}] { frac {1 - { sqrt {1-4x}}} {2}} [6pt] & = [x ^ {n}] { frac {1} {2}} - [x ^ {n}] { frac {1} {2}} { sqrt { 1-4x}} [6pt] & = - { frac {1} {2}} [x ^ {n}] sum _ {k = 0} ^ { infty} {{ frac {1} {2}} choose k} (- 4x) ^ {k} [6pt] & = - { frac {1} {2}} {{ frac {1} {2}} choose n} ( -4) ^ {n} [6pt] & = { frac {1} {n}} {2n-2 choose n-1} end {align}}}

Примечание. Обозначение [Икс^п] ж(Икс) относится к коэффициенту Икс^п в ж(ИксРазложение квадратного корня в ряд основано на обобщении Ньютона биномиальная теорема. Для перехода от четвертой к пятой строчке манипуляции с помощью обобщенный биномиальный коэффициент необходим.

Выражение в последней строке равно (п − 1)^th Каталонский номер. Следовательно, п_п = c_п−1.