Моделирование без уравнений - Equation-free modeling

Моделирование без уравнений это метод для многомасштабные вычисления и компьютерный анализ. Он разработан для класса сложных систем, в которых эволюцию наблюдают в макроскопическом, грубом масштабе, представляющем интерес, в то время как точные модели даются только на очень подробном, микроскопическом уровне описания. Фреймворк позволяет выполнять макроскопические вычислительные задачи (в больших пространственно-временных масштабах), используя только правильно инициализированное микроскопическое моделирование на коротких временных и малых масштабах. Методология исключает вывод явных макроскопических уравнения эволюции когда эти уравнения концептуально существуют, но не доступны в закрытой форме; отсюда термин безуравнение.^[1]

Вступление

В широком диапазоне химических, физических и биологических систем согласованное макроскопическое поведение возникает в результате взаимодействия между самими микроскопическими объектами (молекулами, клетками, зерном, животными в популяции, агентами) и их средой. Иногда, что примечательно, модель дифференциального уравнения крупного масштаба (например, Уравнения Навье-Стокса для потока жидкости, или реакционно-диффузионная система ) может точно описать макроскопическое поведение. Такое макромасштабное моделирование использует общие принципы сохранения (атомы, частицы, масса, импульс, энергия) и замыкается в корректную систему посредством феноменологических основные уравнения или же уравнения состояния. Однако все чаще встречаются сложные системы которые имеют только известные микроскопические модели в мелком масштабе. В таких случаях, хотя мы наблюдаем появление крупномасштабного макроскопического поведения, моделирование его с помощью явных замыкающих соотношений может оказаться невозможным или непрактичным. Неньютоновская жидкость поток, хемотаксис, пористая среда транспорт, эпидемиология, моделирование мозга и нейронные системы - вот некоторые типичные примеры. Моделирование без уравнений направлено на использование таких микромасштабных моделей для прогнозирования возникающих явлений на макроуровне.

Выполнение крупномасштабных вычислительных задач напрямую с мелкомасштабными моделями часто невозможно: прямое моделирование во всей интересующей пространственно-временной области часто является недопустимым с точки зрения вычислений. Более того, задачи моделирования, такие как численный бифуркационный анализ, часто невозможно выполнить непосредственно на мелкомасштабной модели: крупномасштабное установившееся состояние может не подразумевать установившееся состояние для мелкомасштабной системы, поскольку отдельные молекулы или частицы не прекратить движение, когда плотность или давление газа стабилизируются. Моделирование без уравнений позволяет обойти такие проблемы за счет использования коротких пакетов должным образом инициализированного мелкомасштабного моделирования, а в пространственных задачах - на небольших хорошо разделенных участках пространства.^{[2] [3]} Бесплатный набор инструментов Matlab / Octave дает людям возможность использовать эти методы без уравнений. ^[4]

Грубый таймер

В динамических задачах используется грубый таймер. По сути, короткие серии вычислительных экспериментов с мелкомасштабным симулятором оценивают локальные производные по времени. Учитывая начальное условие для грубых переменных ${ displaystyle U (t_ {k})}$ вовремя ${ displaystyle t_ {k}}$, грубый шаговый механизм состоит из четырех шагов:

• Лифтинг, создает микромасштабные начальные условия ${ Displaystyle и (т_ {к})}$, в соответствии с макросостоянием ${ displaystyle U (t_ {k})}$;
• Моделирование, использует имитатор микромасштаба для вычисления состояния микромасштаба ${ Displaystyle и (т)}$ через короткий промежуток времени ${ Displaystyle т_ {к} leq t leq t_ {k} + дельта т}$;
• Ограничение, получает макросостояние ${ Displaystyle U (t_ {k} + delta t)}$ из мелкомасштабного состояния ${ Displaystyle и (т)}$;
• Шаг по времени, экстраполяция макросостояния ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle t_ {k}}$ к ${ displaystyle t_ {k + 1} = t_ {k} + Delta t}$ предсказывает состояние макровремени в будущем.

Многократные временные шаги моделируют систему в макро-будущее. Если микромасштабная модель является стохастической, то может потребоваться ансамбль микромасштабных симуляций для получения достаточно хорошей экстраполяции на временном шаге. Такой грубый шаговый механизм по времени можно использовать во многих алгоритмах традиционного численного анализа континуума, таких как численный бифуркационный анализ, оптимизация, управление и даже ускоренное крупномасштабное моделирование. Для детерминированных систем набор инструментов Matlab / Octave предоставляет пользователю более высокую -заказать точные таймеры:^[4] схема Рунге - Кутта второго и четвертого порядков и общая схема интерфейса.

Традиционно алгебраические формулы определяют производные по времени грубой модели. В нашем подходе производная на макроуровне оценивается внутренним микромасштабным симулятором, фактически выполняя закрытие по запросу. Причина названия безуравнение по аналогии с безматричной числовой линейной алгеброй;^[5] название подчеркивает, что уравнения макроуровня никогда не строятся явно в замкнутой форме.

Ограничение

Оператор ограничения часто следует непосредственно из конкретного выбора переменных макроуровня. Например, когда микромасштабная модель развивает ансамбль из многих частиц, ограничение обычно вычисляет первые несколько моментов распределения частиц (плотность, импульс и энергия).

Подъем

Оператор подъемника обычно более активен. Например, рассмотрим модель частицы: нам нужно определить отображение нескольких моментов низшего порядка распределения частиц в начальные условия для каждой частицы. Предположение о существовании отношения, которое замыкается в этих грубых моментах низкого порядка, подразумевает, что подробные микромасштабные конфигурации являются функционалами моментов (иногда называемых подчиненными ^[6]). Мы предполагаем, что эта взаимосвязь устанавливается / возникает во временных масштабах, которые быстрее по сравнению с общей эволюцией системы (см. медленный коллектор теория и приложения ^[7]). К сожалению, замыкание (отношения подчинения) алгебраически неизвестно (иначе был бы известен закон грубой эволюции).

Инициализация неизвестных микромасштабных режимов случайным образом приводит к ошибке подъема: мы полагаемся на разделение макро- и микромасштабов времени, чтобы обеспечить быстрое расслабление для функционалов грубых макросостояния (исцеление). Может потребоваться подготовительный этап, возможно, связанный с микромасштабным моделированием, ограниченным для сохранения фиксированных макросостояния.^[8] Когда система имеет уникальную фиксированную точку для неизвестных микромасштабных деталей, обусловленных грубыми макросостояниями, алгоритм ограниченных прогонов может выполнить этот подготовительный этап, используя только микромасштабный шаговый механизм.^[9]

Наглядный пример

Игрушечная задача иллюстрирует основные концепции. Например, рассмотрим дифференциальное уравнение система двух переменных ${ Displaystyle (U (т), и (т))}$:

${ displaystyle { frac {dU} {dt}} = - U-u + 2 ,, quad { frac {du} {dt}} = 100 (U ^ {3} -u).}$

Капитал ${ displaystyle U}$ обозначает предполагаемую переменную макромасштабирования, а строчные буквы ${ displaystyle u}$ микромасштабная переменная. Эта классификация означает, что мы предполагаем грубую модель вида ${ displaystyle dU / dt = G (U)}$ существует, хотя мы не обязательно знаем, что это такое. Произвольно определить подъем из любого заданного макросостояния ${ displaystyle U}$ в качестве ${ Displaystyle (U, u) = (U, 0,5)}$. Моделирование с использованием этого подъема и грубого шага по времени показано на рисунке.

Неуравновешенный грубый шаговый шаг по времени, примененный к иллюстративному примеру системы дифференциальных уравнений с использованием ${ displaystyle delta t = 0,1}$ и ${ Displaystyle U (0) = - 1}$.

Решение дифференциального уравнения быстро переходит к медленный коллектор ${ Displaystyle и приблизительно U ^ {3}}$ для любых исходных данных. Решение с грубым шагомером по времени лучше согласуется с полным решением при увеличении коэффициента 100. На графике показано поднятое решение (синяя сплошная линия) ${ displaystyle (U, u)}$. Во время ${ Displaystyle т = п дельта т}$, решение ограничивается, а затем снова отменяется, что здесь просто устанавливает ${ Displaystyle и (п дельта т) = 0,5}$. Медленный коллектор показан красной линией. Правый график показывает производную по времени ограниченного решения как функцию времени (синяя кривая), а также производную по времени. ${ displaystyle dU / dt}$ (грубая производная по времени), как видно из полного моделирования (красная кривая).

Применительно к конкретным многомасштабным задачам

Подход без уравнений был применен ко многим примерам. Примеры иллюстрируют различные способы построения и сборки алгоритмических строительных блоков. Численный анализ подтверждает точность и эффективность этого подхода. Также был проведен дополнительный численный анализ других методов этого типа.^[10]

Применение парадигмы без уравнений к реальной проблеме требует значительной осторожности, особенно при определении операторов подъема и ограничения, а также соответствующего внешнего решателя.

• Первая задача - определить наблюдаемые на макроуровне. Они должны быть достаточно полными, чтобы можно было надежно реконструировать (поднять) неизвестные переменные микромасштаба. Физические аргументы часто идентифицируют наблюдаемые на макроуровне. Почти всегда используются плотности, но есть несколько удивительно простых примеров, когда корреляционные функции являются важными переменными макромасштаба.^[11] Если не прибегать к физическим аргументам, то современные методы интеллектуального анализа данных или разнообразные методы обучения, такие как Isomap или диффузионные карты, могут получить макромасштабные переменные из микромасштабного моделирования.^[12]
• Должно быть четкое разделение между временными масштабами наблюдаемых на макроуровне и временными масштабами остальных микромасштабных мод, квазиравновесных при любом макросостоянии.
• Знания наблюдаемых на макроуровне может быть недостаточно. Одна из стратегий для получения такой информации - это схема "вода в детской ванне", в которой используются только правильно инициализированные модели.^[13]

Грубый бифуркационный анализ

Рекурсивный метод проекции^[14] позволяет вычислить бифуркационные диаграммы с использованием устаревшего кода моделирования. Это также дает возможность грубо шагу по времени выполнять бифуркационные вычисления без уравнений. Рассмотрим шаговый механизм грубого времени в его эффективной форме

${ displaystyle { vec {U}} ^ {n + 1} = { vec {S}} ({ vec {U}} ^ {n}, lambda; delta t),}$

который включает явную зависимость от одного или нескольких параметров ${ displaystyle lambda}$. Бифуркационный анализ вычисляет равновесие или же периодические орбиты, их устойчивость и зависимость от параметра ${ displaystyle lambda}$.

Вычислите грубое равновесие как фиксированная точка шагового генератора грубого времени

${ displaystyle { vec {U}} - { vec {S}} ({ vec {U}}, lambda; delta t) = { vec {0}}.}$

В контексте без уравнений рекурсивный метод проецирования является внешним решателем этого уравнения, а грубый шаговый механизм по времени позволяет выполнять этот метод с использованием динамики с мелким масштабом.

Кроме того, для задач, в которых макромасштаб имеет непрерывную симметрию, можно использовать подход на основе шаблона. ^[15] вычислить грубый самоподобный или же бегущая волна решения в виде фиксированных точек грубого шагового механизма, который также кодирует соответствующее изменение масштаба и / или сдвиг пространства-времени и / или решения. Например, самоподобные решения диффузии могут быть найдены как функция плотности вероятности подробных молекулярная динамика.^[16]

Альтернативой методу рекурсивного проецирования является использование методов Ньютона – Крылова.^[17]

Грубое проективное интегрирование

Шаговый механизм грубого времени ускоряет моделирование на больших временах макроуровня. В описанной выше схеме пусть большой макро-шаг по времени ${ displaystyle Delta t gg delta t}$, и находиться в масштабе времени медленной грубой динамики. Пусть вычисленные ${ Displaystyle U ^ {п} приблизительно U (п Delta t)}$ в терминах грубой переменной, и пусть микромасштабное моделирование вычисляет ${ Displaystyle U ^ {n, k} приблизительно U (п Delta t + k delta t)}$ из моделирования местного времени с начальным условием, что грубая переменная ${ Displaystyle U (п Delta t) = U ^ {n} = U ^ {n, 0}}$. Затем мы приближаем ${ Displaystyle U ((п + 1) Delta t)}$ путем экстраполяции пробелов на

${ Displaystyle U ^ {N + 1} = U ^ {N, K} + ( Delta t-k delta t) F ({ vec {U}} ^ {n})}$

где, например, простая линейная экстраполяция будет

${ Displaystyle F ({ vec {U}} ^ {n}) = (U ^ {n, k} -U ^ {n, k-1}) / delta t}$

Эта схема называется грубым проективным прямым Эйлером и является самой простой схемой в своем классе.

В ${ displaystyle k}$ шаги, предпринятые до экстраполяции, отражают то, что мы должны позволить системе установить квазиравновесие (с точки зрения микромасштаба), чтобы мы могли сделать надежную экстраполяцию медленной динамики. Тогда размер шага проективного интегрирования ограничивается стабильностью медленных режимов.^[18]

Возможны варианты грубого проективного интегрирования более высокого порядка, аналогичные Адамс – Башфорт или же Рунге-Кутта.^[19] Схемы более высокого порядка для систем, в которых микромасштабный шум все еще заметен на временном шаге макроуровня, более проблематичны.^[20]

Динамика патча

Пространственным аналогом проективной интеграции является схема промежуток-зуб. Идея схемы промежуток-зуб состоит в том, чтобы моделировать небольшие участки пространства, зубы, разделенные не смоделированным пространством, промежутки. Путем соответствующего связывания небольших участков моделирования мы создаем крупномасштабное моделирование пространственно-расширенной системы на грубом уровне. Когда микромасштабный симулятор требует больших вычислительных ресурсов, схема зубца-щели обеспечивает эффективное крупномасштабное прогнозирование. Более того, она делает это без необходимости определять алгебраическое замыкание для крупномасштабная модель.^[21][22][23]Набор инструментов Matlab / Octave обеспечивает поддержку пользователей для реализации моделирования на прямоугольной сетке участков в 1D или 2D пространстве.^[4]

Комбинация схемы «щель-зуб» с грубым проективным интегрированием называется динамикой пятна.

Граничные условия связи

Ключом к схеме зазора, зуба и заплатки является соединение небольших пятен через неимитационное пространство. Удивительно, но общий ответ - просто использовать классическую интерполяцию Лагранжа, будь то в одном измерении.^[23] или несколько измерений.^[24] Этот ответ связан со связью в целостная дискретизация и теоретической поддержкой теории медленные многообразия.Интерполяция обеспечивает значение или граничные условия потока в соответствии с требованиями микромасштабного симулятора. Согласованность высокого порядка между схемой «зазор-зубец / заплатка» на макроуровне и моделированием на микроуровне достигается за счет интерполяции Лагранжа высокого порядка.

Однако обычно микромасштаб основан на шумных частицах или агент-ориентированная модель В таких случаях релевантными переменными макроуровня являются средние значения, такие как плотность массы и количества движения. Затем обычно необходимо сформировать средние значения по сердцевине каждого зуба / пластыря и применить условие сцепления к конечной области действия на краях каждого зуба / пластыря. Предварительная рекомендация состоит в том, чтобы сделать эти области размером с половину зуба / пластыря. пластырь.^[25]То есть для повышения эффективности микромасштабный зуб / пластырь должен быть как можно меньше, но ограничен необходимостью соответствовать в действии и центральным областям, достаточно большим, чтобы формировать достаточно точные средние значения.

Подъем

Динамика пятна представляет собой комбинацию схемы зубчатого зазора и грубой проективной интеграции. Так же, как и при обычном проективном интегрировании, в начале каждого пакета микромасштабного моделирования необходимо создать начальное условие для каждого фрагмента, которое согласуется с локальными переменными макромасштаба и градиентами макромасштаба из соседних интерполированных фрагментов. Достаточно тех же техник.

Открытые проблемы и направления на будущее

Предположения и выбор относительно эволюции на макроуровне имеют решающее значение в схеме без уравнений. Ключевое предположение состоит в том, что переменные, которые мы выбираем для связи на макроуровне, должны эффективно замыкаться на выбранном макроуровне. Если выбранная длина макромасштаба слишком мала, тогда могут потребоваться более грубые масштабные переменные: например, в гидродинамике мы традиционно закрываем PDE для плотности, импульса и энергии; тем не менее, в высокоскоростном потоке, особенно при более низких плотностях, нам необходимо разрешить режимы молекулярной вибрации, потому что они не уравновешены во временных масштабах потока жидкости. Качественно те же соображения применимы и к безуравнению.

Для многих систем подходящие грубые переменные более или менее известны из опыта. Однако в сложных ситуациях необходимо автоматически определять подходящие грубые переменные, а затем использовать их в эволюции макромасштаба. Это требует гораздо большего количества исследований с использованием методов интеллектуального анализа данных и разнообразного обучения. В некоторых задачах может оказаться, что, помимо плотности, соответствующие грубые переменные также должны включать пространственные корреляции, как в так называемых броуновских ошибках.^[26]

Макромасштаб, возможно, придется рассматривать как стохастическую систему, но тогда ошибки, вероятно, будут намного больше, а замыкания - более неопределенными.

Рекомендации

внешняя ссылка

• Яннис Кеврекидис (ред.). «Безуравнение моделирования». Scholarpedia.