Медленный коллектор - Slow manifold

В математика, то медленный коллектор из точка равновесия из динамическая система встречается как наиболее распространенный пример центральный коллектор. Один из основных способов упрощения динамические системы, состоит в том, чтобы уменьшить размер системы до размера медленного многообразия -центральный коллектор теория строго оправдывает моделирование.^[1]^[2] Например, некоторые глобальные и региональные модели атмосферы или океанов разрешают так называемые квази-геострофический поток динамика на медленном многообразии динамики атмосферы / океана,^[3]и поэтому имеет решающее значение для прогнозирования с климатическая модель.

Определение

Рассмотрим динамическая система

{ displaystyle { frac {d { vec {x}}} {dt}} = { vec {f}} ({ vec {x}})}

для развивающегося вектора состояния ${ displaystyle { vec {x}} (т)}$ и с точка равновесия ${ displaystyle { vec {x}} ^ {*}}$ . Тогда линеаризация системы в точке равновесия имеет вид

{ displaystyle { frac {d { vec {x}}} {dt}} = A { vec {x}} quad { text {где}} A = { frac {d { vec {f }}} {d { vec {x}}}} ({ vec {x}} ^ {*}).}

Матрица ${ displaystyle A}$ определяет четыре инвариантные подпространства характеризуется собственные значения ${ displaystyle lambda}$ матрицы: как описано в записи для центральный коллектор три из подпространств - это устойчивые, неустойчивые и центральные подпространства, соответствующие промежутку собственных векторов с собственными значениями ${ displaystyle lambda}$ имеющие действительную часть отрицательную, положительную и нулевую соответственно; четвертое подпространство - это медленное подпространство, заданное промежутком собственных векторов, и обобщенные собственные векторы, соответствующая собственному значению ${ displaystyle lambda = 0}$ именно так. Медленное подпространство - это подпространство центрального подпространства, или идентичное ему, или, возможно, пустое.

Соответственно нелинейная система имеет инвариантные многообразия, составленных из траекторий нелинейной системы, соответствующих каждому из этих инвариантных подпространств. Существует инвариантное многообразие, касающееся медленного подпространства и имеющее такую же размерность; это многообразие является медленный коллектор.

Стохастические медленные многообразия существуют также для зашумленных динамических систем (стохастическое дифференциальное уравнение ), а также стохастический центр, устойчивые и неустойчивые многообразия.^[4] Такие стохастические медленные многообразия одинаково полезны при моделировании возникающей стохастической динамики, но есть много интересных вопросов, которые необходимо решить, например, история и будущие зависимые интегралы шума.^[5]^[6]

Примеры

Простой случай с двумя переменными

Связанная система двух переменных ${ Displaystyle х (т)}$ и ${ Displaystyle у (т)}$

{ displaystyle { frac {dx} {dt}} = - xy quad { text {and}} quad { frac {dy} {dt}} = - y + x ^ {2} -2y ^ { 2}}

имеет точное медленное многообразие ${ Displaystyle у = х ^ {2}}$ на котором эволюция ${ displaystyle dx / dt = -x ^ {3}}$ . Помимо экспоненциально затухающих переходных процессов, это медленное многообразие и его эволюция захватывают все решения, которые находятся в окрестности начала координат.^[7] Окрестность притяжения, грубо говоря, не меньше полупространства ${ displaystyle y> -1/2}$ .

Медленная динамика среди быстрых волн

Эдвард Нортон Лоренц представил следующую динамическую систему из пяти уравнений с пятью переменными, чтобы исследовать понятие медленного многообразия квази-геострофический поток^[8]

{ displaystyle { begin {align} { frac {dU} {dt}} & = - VW + bVZ, [6pt] { frac {dV} {dt}} & = UW-bUZ, [ 6pt] { frac {dW} {dt}} & = - UV, [6pt] { frac {dX} {dt}} & = - Z, [6pt] { frac {dZ} {dt }} & = X + BUV. End {выравнивается}}}

Линеаризованное относительно начала координат нулевое собственное значение имеет кратность три, и имеется комплексно сопряженная пара собственных значений, ${ displaystyle pm i}$ . Следовательно, существует трехмерное медленное многообразие (окруженное «быстрыми» волнами в ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Z}$ переменные). Позднее Лоренц утверждал, что медленного многообразия не существует!^[9] Но нормальная форма^[10] Аргументы предполагают, что существует динамическая система, экспоненциально близкая к системе Лоренца, для которой существует хорошее медленное многообразие.

Устранение бесконечного количества переменных

В моделировании мы стремимся значительно упростить. В этом примере используется медленное многообразие для упрощения «бесконечномерной» динамики уравнение в частных производных к модели одного обыкновенное дифференциальное уравнение. Рассмотрим поле ${ Displaystyle и (х, т)}$ претерпевает нелинейную диффузию

{ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} = u { frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {2}}} quad { text {в домене }} - 1

с Граничные условия Робина

{ displaystyle 2bu pm (1-b) { frac { partial u} { partial x}} = 0 quad { text {on}} x = pm 1.}

Параметризация граничных условий ${ displaystyle b}$ дает нам возможность покрыть изоляцию Граничное условие Неймана дело ${ displaystyle b = 0}$ , то Граничное условие Дирихле дело ${ displaystyle b = 1}$ , и все случаи между ними.

А теперь рассмотрим чудесный трюк, который часто используется при исследовании динамики с помощью теория бифуркации. Поскольку параметр ${ displaystyle b}$ постоянна, присоединяем к тривиально истинному дифференциальному уравнению

{ displaystyle { frac { partial b} { partial t}} = 0}

Тогда в расширенном пространстве состояний развивающегося поля и параметра ${ Displaystyle (б, и (х))}$ , существует бесконечное количество равновесий, а не только одно равновесие, с ${ displaystyle b = 0}$ (изоляционный) и ${ displaystyle u =}$ постоянный, скажем ${ Displaystyle и = а}$ . Не вдаваясь в подробности, для каждого положения равновесия линеаризованная диффузия имеет два нулевых собственных значения и для ${ displaystyle a> 0}$ все остальные отрицательные (менее ${ displaystyle - pi ^ {2} а / 4}$ ). Таким образом, возникает двумерная динамика на медленных многообразиях (см. появление ) от нелинейной диффузии, какими бы сложными ни были начальные условия.

Здесь можно напрямую проверить, что медленное многообразие является в точности полем ${ Displaystyle и (х, т) = а (т) (1-bx ^ {2})}$ где амплитуда ${ displaystyle a}$ развивается согласно

{ displaystyle { frac {da} {dt}} = - 2a ^ {2} b quad { text {and}} { frac {db} {dt}} = 0.}

То есть, после начальных переходных процессов, обусловленных диффузией гладких внутренних структур, возникающее поведение является одним из относительно медленного спада амплитуды ( ${ displaystyle a}$ ) со скоростью, контролируемой типом граничного условия (постоянная ${ displaystyle b}$ ).

Обратите внимание, что эта модель медленного многообразия глобальна в ${ displaystyle a}$ поскольку каждое равновесие обязательно находится в медленном подпространстве равновесия друг друга, но только локально по параметру ${ displaystyle b}$ . Мы еще не можем быть уверены, насколько велик ${ displaystyle b}$ можно принять, но теория уверяет нас, что результаты верны для некоторого конечного параметра ${ displaystyle b}$ .

Пожалуй, простейшее нетривиальное стохастическое медленное многообразие

Стохастическое моделирование намного сложнее - этот пример иллюстрирует только одну такую сложность. Рассмотрим для малого параметра ${ displaystyle epsilon}$ две переменные динамики этой линейной системы, вызванные шумом от случайная прогулка ${ displaystyle W (t)}$ :

{ displaystyle dx = varepsilon y , dt quad { text {and}} quad dy = -y , dt + dW ,.}

Можно было просто заметить, что Процесс Орнштейна – Уленбека ${ displaystyle y}$ формально интеграл истории

{ displaystyle y = int _ {- infty} ^ {t} exp (s-t) , dW (s)}

а затем утверждают, что ${ Displaystyle х (т)}$ просто интеграл этого интеграла истории. Однако тогда это решение неправильно содержит быстрые интегралы по времени из-за ${ Displaystyle ехр (s-t)}$ в подынтегральном выражении в предположительно долгой модели.

В качестве альтернативы стохастик преобразование координат извлекает звуковую модель для долговременной динамики. Измените переменные на ${ Displaystyle (Х (т), Y (т))}$ куда

{ displaystyle y = Y + int _ {- infty} ^ {t} exp (st) , dW (s) quad { text {and}} quad x = X- varepsilon Y- varepsilon int _ {- infty} ^ {t} exp (st) , dW (s)}

тогда новые переменные эволюционируют в соответствии с простым

{ displaystyle dX = varepsilon , dW quad { text {and}} quad dY = -Y , dt.}

В этих новых координатах легко вывести ${ Displaystyle Y (т) к 0}$ экспоненциально быстро, уходя ${ Displaystyle X (т) = эпсилон W (т)}$ проходит случайная прогулка быть долгосрочной моделью стохастической динамики на стохастическом медленном многообразии, полученной путем задания ${ displaystyle Y = 0}$ .

Веб-сервис строит такие медленные многообразия конечных размеров, как детерминированных, так и стохастических.^[11]

Смотрите также

Квазигеострофические уравнения

внешняя ссылка

[1] Дж. Карр, Приложения теории центрального многообразия, Прикладная математика. Sci. 35, 1981, Springer-Verlag

[2] Ю. А. Кузнецов, Элементы прикладной теории бифуркаций, Прикладные математические науки 112, 1995, Springer-Verlag

[3] Р. Камасса, О геометрии атмосферного медленного многообразия, Physica D, 84:357–397, 1995.

[4] Людвиг Арнольд, Случайные динамические системы, Монографии Springer по математике, 2003.

[5] А. Дж. Робертс, Нормальная форма преобразует отдельные медленные и быстрые режимы в стохастических динамических системах. Physica A 387:12–38, 2008.

[6] Людвиг Арнольд и Питер Имкеллер, Нормальные формы для стохастических дифференциальных уравнений, Вероятно. Теория Relat. Поля, 110:559–588, 1998.

[7] А. Дж. Робертс, Простые примеры вывода амплитудных уравнений для систем уравнений, обладающих бифуркациями. J. Austral. Математика. Soc. B, 27, 48–65, 1985.

[8] Лоренц Э. Н. О существовании медленного многообразия. Журнал атмосферных наук 43:1547–1557, 1986.

[9] Э. Лоренц и Кришнамурти, О несуществовании медленного многообразия, J. Atmos. Sci. 44:2940–2950, 1987.

[10] Джеймс Мердок, Нормальные формы и развертки для локальных динамических систем, Монографии Springer по математике, 2003, Springer

[11] А. Дж. Робертс, Нормальная форма стохастических или детерминированных многомасштабных дифференциальных уравнений, http://www.maths.adelaide.edu.au/anthony.roberts/sdenf.html, 2009.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]