Неравенство Эрдеша – Турана - Erdős–Turán inequality

В математике Неравенство Эрдеша – Турана ограничивает расстояние между вероятностная мера по кругу и Мера Лебега, с точки зрения Коэффициенты Фурье. Это было доказано Пол Эрдёш и Пал Туран в 1948 г.^[1][2]

Позволять μ - вероятностная мера на единичный круг р/Z. Неравенство Эрдеша – Турана утверждает, что для любого натурального числа п,

${ displaystyle sup _ {A} left | mu (A) - mathrm {mes} , A right | leq C left ({ frac {1} {n}} + sum _ { k = 1} ^ {n} { frac {| { hat { mu}} (k) |} {k}} right),}$

где супремум над всем дуги А ⊂ р/Z единичного круга, mes обозначает меру Лебега,

${ Displaystyle { шляпа { му}} (к) = int ехр (2 пи ik тета) , д му ( тета)}$

являются Коэффициенты Фурье из μ, и C > 0 - числовая константа.

Заявление о несоответствии

Позволять s₁, s₂, s₃ ... ∈ р быть последовательностью. Неравенство Эрдеша – Турана применительно к мере

${ displaystyle mu _ {m} (S) = { frac {1} {m}} # {1 leq j leq m , | , s_ {j} , mathrm {mod} , 1 in S }, quad S subset [0,1),}$

дает следующую оценку для несоответствие:

${ Displaystyle { begin {align} D (m) & left (= sup _ {0 leq a leq b leq 1} { Big |} m ^ {- 1} # {1 leq j leq m , | , a leq s_ {j} , mathrm {mod} , 1 leq b } - (ba) { Big |} right) [8pt] & leq C left ({ frac {1} {n}} + { frac {1} {m}} sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k}} left | sum _ {j = 1} ^ {m} e ^ {2 pi is_ {j} k} right | right). end {align}} qquad (1)}$

Это неравенство выполняется для произвольных натуральных чисел м, н, и дает количественную форму Критерий Вейля за равнораспределение.

Многомерный вариант (1) известен как Неравенство Эрдеша – Турана – Коксмы..

Примечания

Дополнительные ссылки

• Харман, Глин (1998). Теория метрических чисел. Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. 18. Clarendon Press. ISBN  0-19-850083-1. Zbl  1081.11057.