Пространство Эрдёша - Erdős space

В математика, Пространство Эрдёша это топологическое пространство названный в честь Пол Эрдёш, описавший его в 1940 году.^[1] Пространство Эрдеша определяется как подпространство ${ Displaystyle E подмножество ell ^ {2}}$ из Гильбертово пространство суммируемых с квадратом последовательностей, состоящих из последовательностей, все элементы которых рациональное число.

Пространство Эрдеша - это полностью отключен, одномерный топологическое пространство. Космос ${ displaystyle E}$ является гомеоморфный к ${ displaystyle E times E}$ в топология продукта. Если множество всех гомеоморфизмов Евклидово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ (за ${ Displaystyle п geq 2}$ ), которые оставляют неизменным множество ${ Displaystyle mathbb {Q} ^ {п}}$ рациональных векторов наделяется компактно-открытая топология, оно становится гомеоморфным пространству Эрдеша.^[2]

Пространство Эрдеша также проявляется в сложная динамика. Позволять ${ displaystyle f: mathbb {C} to mathbb {C}}$ быть комплексная экспонента отображение определяется ${ Displaystyle е (г) = е ^ {г} -1}$ . Позволять ${ displaystyle f ^ {n}}$ обозначить ${ displaystyle n}$ -складной состав ${ displaystyle f}$ . Тогда множество всех точек ${ Displaystyle г в mathbb {C}}$ такой, что ${ Displaystyle { текст {Im}} (е ^ {п} (г)) к infty}$ в качестве ${ Displaystyle п к infty}$ образует набор попарно непересекающихся лучей (гомеоморфные копии ${ displaystyle [0, infty)}$ ) в комплексной плоскости. Множество всех конечных концов этих лучей гомеоморфно ${ displaystyle E}$ .^[3] Это представление также можно описать как набор всех точек ${ Displaystyle г в mathbb {C}}$ такой, что (а) итерации ${ displaystyle z}$ сбежать в ${ displaystyle infty}$ в воображаемом направлении, и (б) ${ displaystyle z}$ доступен через непрерывную кривую точек, итерации которых притягиваются к ${ displaystyle 0}$ .