Расширитель (теория множеств) - Extender (set theory)

В теория множеств, расширитель это система ультрафильтры который представляет собой элементарное вложение свидетельство большой кардинал характеристики. Непринципиальный ультрафильтр - это самый простой вариант расширителя.

(Κ, λ) -расширение можно определить как элементарное вложение некоторой модели M ZFC⁻ (ZFC минус аксиома набора мощности ) с критической точкой κ ε M, и который переводит κ в ординал, по крайней мере, равный λ. Его также можно определить как набор ультрафильтров, по одному на каждый п-кортеж взятый из λ.

Формальное определение расширителя

Пусть κ и λ - кардиналы с κ≤λ. Затем набор ${ displaystyle E = {E_ {a} | a in [ lambda] ^ {< omega} }}$ называется (κ, λ) -расширением, если выполняются следующие свойства:

каждый E_а является κ-полным неглавным ультрафильтром на [κ]^<ω и, кроме того
1. хотя бы один E_а не κ⁺-полный,
2. для каждого ${ displaystyle alpha in kappa}$ , хотя бы один E_а содержит набор ${ displaystyle {s in [ kappa] ^ {| a |}: alpha in s }}$ .
(Связность) E_а когерентны (так что сверхдержавы Ult (V,E_а) образуют направленную систему).
(Нормальность) Если ж таково, что ${ displaystyle {s in [ kappa] ^ {| a |}: f (s) in max s } in E_ {a}}$ , то для некоторых ${ displaystyle b supseteq a, {t in kappa ^ {| b |} :( f circ pi _ {ba}) (t) in t } in E_ {b}}$ .
(Обоснованность) Предел сверхмощности Ult (V,E) является хорошо обоснованный (где Ult (V,E) это прямой предел сверхспособностей Ult (V,E_а)).

Под согласованностью подразумевается, что если а и б - конечные подмножества λ такие, что б это надмножество а, то если Икс является элементом ультрафильтра E_б и каждый выбирает правильный способ проецирования Икс до набора последовательностей длины |а|, тогда Икс является элементом E_а. Более формально для ${ displaystyle b = { alpha _ {1}, dots, alpha _ {n} }}$ , где ${ Displaystyle альфа _ {1} < точки < альфа _ {п} < лямбда}$ , и ${ displaystyle a = { alpha _ {i_ {1}}, dots, alpha _ {i_ {m}} }}$ , где м≤п и для j≤м то я_j попарно различны и не более п, определим проекцию ${ displaystyle pi _ {ba}: { xi _ {1}, dots, xi _ {n} } mapsto { xi _ {i_ {1}}, dots, xi _ {i_ {m}} } ( xi _ {1} < dots < xi _ {n})}$ .

потом E_а и E_б согласовываться, если

{ displaystyle X in E_ {a} Leftrightarrow {s: pi _ {ba} (s) in X } in E_ {b}}

.

Определение расширителя из элементарного вложения

Для элементарного вложения j: V → M, отображающего теоретико-множественный универсум V в переходный внутренняя модель M, с участием критическая точка κ и кардинал λ, κ≤λ≤j(κ) определяется ${ displaystyle E = {E_ {a} | a in [ lambda] ^ {< omega} }}$ следующим образом:

{ displaystyle { text {for}} a in [ lambda] ^ {< omega}, X substeq [ kappa] ^ {< omega}: quad X in E_ {a} Leftrightarrow a in j (X).}

Тогда можно показать, что E обладает всеми свойствами, указанными выше в определении, и поэтому является (κ, λ) -расширителем.

Расширитель (теория множеств) - Extender (set theory)

Формальное определение расширителя

Определение расширителя из элементарного вложения

Рекомендации