Гипотеза сокольников - Википедия - Falconers conjecture

В геометрическая теория меры, Гипотеза Фальконера, названный в честь Кеннет Фалконер, является нерешенной задачей о множествах Евклидовы расстояния между точками в компактном ${ displaystyle d}$-мерные пространства. Интуитивно он утверждает, что набор точек большой по своему Хаусдорфово измерение должен определить набор расстояний это большое в мера. Точнее, если ${ displaystyle S}$ компактное множество точек в ${ displaystyle d}$-мерное евклидово пространство, хаусдорфова размерность которого строго больше, чем ${ displaystyle d / 2}$, то гипотеза утверждает, что множество расстояний между парами точек в ${ displaystyle S}$ должно быть ненулевое Мера Лебега.

Формулировка и мотивация

Сокольничий (1985) доказал, что борелевские множества с хаусдорфовой размерностью больше, чем ${ displaystyle (d + 1) / 2}$ имеют наборы расстояний с ненулевой мерой.^[1] Он мотивировал этот результат как многомерное обобщение теории Теорема Штейнгауза, предыдущий результат Хьюго Штайнхаус доказывая, что каждый набор действительные числа с ненулевой мерой должен иметь набор различий который содержит интервал вида ${ Displaystyle (- varepsilon, varepsilon)}$ для некоторых ${ displaystyle varepsilon> 0}$.^[2] Его также можно рассматривать как непрерывный аналог Проблема различных расстояний Эрдеша, который утверждает, что большие конечные наборы точек должны иметь большое количество различных расстояний.

Частичные результаты

Эрдоган (2005) доказали, что компакты точек, хаусдорфова размерность которых больше ${ displaystyle { tfrac {d} {2}} + { tfrac {1} {3}}}$ иметь наборы расстояний с ненулевой мерой; для больших значений ${ displaystyle d}$ это приближает порог размерности Хаусдорфа, заданный гипотезой Фальконера.^[3]

Для очков в Евклидова плоскость, вариант гипотезы Фальконера утверждает, что компактный набор размерность Хаусдорфа которой больше или равна единице, должно иметь набор расстояний размерности Хаусдорфа один. Сам Фальконер показал, что это верно для компактов с размерностью Хаусдорфа не менее 3/2, и последующие результаты понизили эту оценку до 4/3.^[4][5] Также известно, что для компактного плоского множества с размерностью Хаусдорфа не менее единицы, набор расстояний должен иметь размерность Хаусдорфа не менее 1/2.^[6]

В 2018 году Гут, Иосевич, Оу и Ван (arXiv: 1808.09346) доказали, что если размерность Хаусдорфа плоского множества больше 5/4, то существует точка в множестве, такая, что мера Лебега расстояний от установленный в этот момент положительный.

Связанные предположения

Доказательство оценки, строго превышающей 1/2, для размерности набора расстояний в случае компактных плоских множеств с размерностью Хаусдорфа по крайней мере одной было бы эквивалентно разрешению нескольких других нерешенных гипотез. К ним относится гипотеза о Пол Эрдёш о существовании Борель подколец из действительные числа с дробной хаусдорфовой размерностью и вариант Какея набор задача о размерности Хаусдорфа множеств, таких что для каждого возможного направления существует отрезок прямой, пересечение которого с множеством имеет высокую размерность Хаусдорфа.^[7]

Другие функции расстояния

Для неевклидовых функций расстояния на плоскости, определяемой полигональными нормами, аналог гипотезы Фальконера неверен: существуют множества хаусдорфовой размерности два, множества расстояний которых имеют нулевую меру.^[8][9]

Рекомендации