Теорема Штейнгауза - Steinhaus theorem

В математической области реальный анализ, то Теорема Штейнгауза заявляет, что набор различий набора положительных мера содержит открыто район нуля. Впервые это было доказано Хьюго Штайнхаус.^[1]

Заявление

Позволять А - измеримое по Лебегу множество на реальная линия так что Мера Лебега из А не равно нулю. Тогда набор различий

${displaystyle A-A = {a-bmid a, bin A}}$

содержит открытую окрестность начала координат.

Общая версия теоремы, впервые доказанная Андре Вайль,^[2] заявляет, что если грамм это локально компактная группа, и А ⊂ грамм подмножество положительных (слева) Мера Хаара, тогда

${displaystyle AA ^ {- 1} = {ab ^ {- 1} mid a, bin A}}$

содержит открытую окрестность единицы.

Теорема распространяется также на немалый наборы с Бэр недвижимость. Доказательство этих расширений, иногда также называемое теоремой Штейнгауза, почти идентично приведенному ниже.

Доказательство

Следующее - простое доказательство, принадлежащее Карлу Стромбергу.^[3]Если μ это Мера Лебега и А это измеримый набор с положительной конечной мерой

${displaystyle 0$

затем для каждого ε > 0 есть компактный набор K и открытый набор U такой, что

${displaystyle Ksubset Asubset U, quad mu (K) + epsilon> mu (A)> mu (U) -epsilon.}$

Для наших целей достаточно выбрать K и U такой, что

${displaystyle 2mu (K)> mu (U).}$

С K ⊂ U,для каждого ${displaystyle kin K}$, есть район ${displaystyle W_ {k}}$ из 0 таких, что ${displaystyle k + W_ {k} подмножество U}$, и, далее, есть окрестность ${displaystyle V_ {k}}$ из 0 таких, что ${displaystyle 2V_ {k} подмножество W_ {k}}$. Например, если ${displaystyle W_ {k}}$ содержит ${displaystyle (-epsilon, epsilon)}$мы можем взять ${displaystyle V_ {k} = (- epsilon / 2, epsilon / 2)}$.Семья ${displaystyle {k + V_ {k}: kin K}}$ это открытый крышка из K.С K компактно, можно выбрать конечное подпокрытие ${displaystyle {k_ {1} + V_ {k_ {1}}, точки, k_ {n} + V_ {k_ {n}}}}$.Позволять ${displaystyle V: = V_ {k_ {1}} cap dots cap V_ {k_ {n}}}$. Потом,

${displaystyle K + Vsubset ((k_ {1} + V_ {k_ {1}}) cup dots cup (k_ {n} + V_ {k_ {n}}))) + Vsubset ((k_ {1} + 2V_ {k_ {1}}) чашка точек чашка (k_ {n} + 2V_ {k_ {n}})) подмножество ((k_ {1} + W_ {k_ {1}}) чашка точек чашка (k_ {n} + W_ { k_ {n}})) подмножество U}$.

Позволять v ∈ V, и предположим

${displaystyle (K + v) cap K = varnothing.}$

Потом,

${displaystyle 2mu (K) = mu (K + v) + mu (K)$

что противоречит нашему выбору K и U. Следовательно, для всех v ∈ V существуют

${displaystyle k_ {1}, k_ {2} в Ksubset A}$

такой, что

${displaystyle v + k_ {1} = k_ {2},}$

что обозначает V ⊂ А − А. Q.E.D.

Следствие

Следствие этой теоремы состоит в том, что любой измеримая собственная подгруппа из ${displaystyle (mathbb {R}, +)}$ имеет нулевую меру.

Смотрите также

• Гипотеза Фальконера

Примечания

Рекомендации

• Штайнхаус, Гюго (1920), "Sur les distance des points dans les ensembles de mesure positive" (PDF), Фонд. Математика. (На французском), 1: 93–104, Дои:10.4064 / fm-1-1-93-104.
• Вайль, Андре (1940). Интеграция в топологические группы и приложения. Германн.
• Стромберг, К. (1972). «Элементарное доказательство теоремы Штейнхауза». Труды Американского математического общества. 36 (1): 308. Дои:10.2307/2039082. JSTOR  2039082.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Садхухан, Арпан (2020). «Альтернативное доказательство теоремы Штейнгауза». Американский математический ежемесячный журнал. 127 (4): 330. arXiv:1903.07139. Дои:10.1080/00029890.2020.1711693.

• Вэт, Мартин (2002). Теория интеграции: второй курс. World Scientific. ISBN  981-238-115-5.