Измеримая группа - Measurable group

В математике измеримая группа это особый вид группа на пересечении между теория групп и теория меры. Измеримые группы используются для изучения меры является абстрактным сеттингом и часто тесно связан с топологические группы.

Определение

Позволять ${ Displaystyle (G, circ)}$ а группа с участием групповой закон

${ displaystyle circ: G times G to G}$.

Пусть дальше ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ быть σ-алгебра подмножеств множества ${ displaystyle G}$.

Группа, или более формально тройка ${ Displaystyle (G, circ, { mathcal {G}})}$ называется измеримой группой, если^[1]

• инверсия ${ displaystyle g mapsto g ^ {- 1}}$ является измеримый от ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ к ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$.
• групповой закон ${ displaystyle (g_ {1}, g_ {2}) mapsto g_ {1} circ g_ {2}}$ измерим от ${ displaystyle { mathcal {G}} otimes { mathcal {G}}}$ к ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$

Вот, ${ displaystyle { mathcal {A}} otimes { mathcal {B}}}$ обозначает формирование произведение σ-алгебры σ-алгебр ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ и ${ displaystyle { mathcal {B}}}$.

Топологические группы как измеримые группы

Каждые счетный топологическая группа ${ displaystyle (G, { mathcal {O}})}$ можно принять как измеримую группу. Это делается путем оснащения группы Борелевская σ-алгебра

${ Displaystyle { mathcal {B}} (G) = sigma ({ mathcal {O}})}$,

какой σ-алгебра, порожденная топологией. Поскольку по определению топологической группы групповой закон и образование обратного элемента непрерывны, обе операции в этом случае также измеримы из ${ Displaystyle { mathcal {B}} (G)}$ к ${ Displaystyle { mathcal {B}} (G)}$ и из ${ Displaystyle { mathcal {B}} (G times G)}$ к ${ Displaystyle { mathcal {B}} (G)}$соответственно. Вторая счетность гарантирует, что ${ Displaystyle { mathcal {B}} (G) otimes { mathcal {B}} (G) = { mathcal {B}} (G times G)}$, поэтому группа ${ displaystyle G}$ также является измеримой группой.

Связанные понятия

Измеримые группы можно рассматривать как измеримые действующие группы которые действуют на себя.

использованная литература