Быстрый фильтр Калмана - Fast Kalman filter

В быстрый фильтр Калмана (FKF), разработанный Антти Ланге (родился в 1941 г.), является продолжением Блокировка Гельмерта-Вольфа[1] (HWB) метод из геодезия к критически важным для безопасности приложениям реального времени Калмана фильтрация (KF) такие как GNSS навигация с точностью до сантиметра и спутниковая съемка Земли, включая томографию атмосферы.

Мотивация

Фильтры Калмана - важный метод фильтрации для обеспечения отказоустойчивости в широком диапазоне систем, включая формирование изображений в реальном времени. Обычный фильтр Калмана обычно оптимален для многих систем. Однако оптимальный фильтр Калмана не является стабильным (т.е. надежным), если Калмана наблюдаемость и управляемость условия не выполняются постоянно.[2] Эти условия очень сложно поддерживать для любой более крупной системы. Это означает, что даже оптимальные фильтры Калмана могут начать расходиться в сторону ложных решений. К счастью, стабильностью оптимального фильтра Калмана можно управлять, отслеживая его дисперсию ошибок, если только они могут быть надежно оценены (например, с помощью MINQUE ). Однако их точное вычисление намного сложнее, чем сама оптимальная фильтрация Калмана. Вычислительный метод FKF часто обеспечивает необходимое ускорение и в этом отношении.

Оптимальная калибровка

Параметры калибровки являются типичным примером тех параметров состояния, которые могут создавать серьезные проблемы наблюдаемости, если узкое окно данных (то есть слишком мало измерений) постоянно используется фильтром Калмана.[3] Инструменты наблюдения на борту орбитальных спутников дают пример оптимальной фильтрации Калмана, когда их калибровка осуществляется косвенно на земле.[4] Могут также существовать другие параметры состояния, которые практически невозможно наблюдать, если слишком маленькие выборки данных обрабатываются одновременно любым фильтром Калмана.

Обратная задача

Вычислительная нагрузка на обратная задача обычного[5] Рекурсия Калмана примерно пропорционально кубу количества одновременно обрабатываемых измерений. Это число всегда можно установить на 1, обрабатывая каждое скалярное измерение независимо и (при необходимости) выполняя простой алгоритм предварительной фильтрации для декорреляции этих измерений. Однако для любой большой и сложной системы эта предварительная фильтрация может потребовать вычисления HWB. Любое продолжительное использование слишком узкого окна входных данных ослабляет наблюдаемость параметров калибровки и, в конечном итоге, это может привести к серьезным проблемам управляемости, совершенно неприемлемым в критически важных для безопасности приложениях.

Даже когда одновременно обрабатывается множество измерений, нет ничего необычного в том, что линеаризованная система уравнений становится разреженной, поскольку некоторые измерения оказываются независимыми от какого-либо состояния или параметров калибровки. В задачах спутниковой геодезии[6] вычислительная нагрузка метода HWB (и FKF) примерно пропорциональна квадрату общего количества только параметров состояния и калибровки, а не миллиардов измерений.

Надежное решение

Для надежной оперативной фильтрации Калмана требуется непрерывное объединение данных в режиме реального времени. Его оптимальность существенно зависит от использования точных дисперсий и ковариаций между всеми измерениями и расчетным состоянием и параметрами калибровки. Эта большая ошибка ковариационная матрица получается инверсия матриц из соответствующей системы Нормальные уравнения.[7] Его матрица коэффициентов обычно разреженная, и точное решение всех оцененных параметров может быть вычислено с использованием метода HWB (и FKF).[7] Оптимальное решение также может быть получено методом исключения Гаусса с использованием других методов разреженной матрицы или некоторых итерационных методов на основе, например, на Вариационное исчисление Однако эти последние методы могут решить большую матрицу всех дисперсий и ковариаций ошибок только приблизительно, и слияние данных не будет выполняться строго оптимальным образом. Следовательно, долговременная стабильность фильтрации Калмана становится неопределенной, даже если условия наблюдаемости и управляемости Калмана постоянно выполняются.

Описание

Фильтр Быстрого Калмана применяется только к системам с разреженными матрицами,[8] поскольку HWB - это метод обращения для решения разреженных линейных уравнений (Wolf, 1978).

Разреженная матрица коэффициентов, которая должна быть инвертирована, часто может иметь либо блочную, либо полосно-диагональную структуру (BBD). Если он полосно-диагональный, он может быть преобразован в блочно-диагональную форму, например. с помощью обобщенного канонического корреляционного анализа (gCCA).

Таким образом, такую ​​большую матрицу можно наиболее эффективно инвертировать поблочно, используя следующие формула аналитического обращения:

из Фробениус куда

большая блочно-диагональная матрица (BD), которую можно легко инвертировать, и
гораздо меньшая матрица, называемая Schur дополнение .

Это метод FKF, который может сделать вычислительно возможным оценить гораздо большее количество параметров состояния и калибровки, чем это может сделать обычная рекурсия Калмана. Их операционная точность также может быть надежно оценена с помощью теории квадратичного несмещенного оценивания минимальной нормы (MINQUE ) из К. Р. Рао и используется для управления стабильностью этой оптимальной быстрой фильтрации Калмана.[9]

Приложения

Метод FKF расширяет очень высокую точность спутниковой геодезии на виртуальную базовую станцию ​​(VRS). Кинематика в реальном времени (RTK) съемка, мобильное позиционирование и сверхнадежная навигация.[10] Первыми важными приложениями будут оптимальная калибровка в реальном времени глобальных систем наблюдений в метеорологии,[11] Геофизика, астрономия и др.

Например, Численный прогноз погоды (ЧПП) теперь может прогнозировать наблюдения с доверительными интервалами, и, таким образом, можно улучшить их оперативный контроль качества. Внезапное увеличение неопределенности в прогнозировании наблюдений может указывать на то, что важные наблюдения отсутствуют (проблема наблюдаемости) или имеет место непредсказуемое изменение погоды (проблема управляемости). Дистанционное зондирование и получение изображений со спутников частично основываются на прогнозируемой информации. Для управления стабильностью обратной связи между этими прогнозами и спутниковыми изображениями требуется быстрый и надежный метод объединения датчиков, который выполняет FKF.

Вычислительное преимущество FKF незначительно для приложений, использующих только небольшие объемы данных в реальном времени. Следовательно, прежде чем персональные гаджеты и межмашинные устройства смогут извлечь максимальную пользу из FKF, сначала необходимо разработать улучшенные встроенные инфраструктуры калибровки и передачи данных и представить их для всеобщего использования.

Рекомендации

  1. ^ Выполнение комбинированных настроек [Документация по программному обеспечению GPScom] (Технический отчет). Отдел геофизических исследований NOAA.
  2. ^ Кальман, Рудольф. «Новый подход к задачам линейной фильтрации и прогнозирования». Журнал фундаментальной инженерии. 82 (1): 34–45. Дои:10.1115/1.3662552.
  3. ^ Ланге, Антти (2008). «Статистическая калибровка систем наблюдений» (PDF). Вклады Финского метеорологического института. 22: 34–45.
  4. ^ Якобссон, Б. Nylund, M; Olssoon, T; Вандермарк, О; Винтерхав, Э (2001). Калибровка звездного трекера / гироскопа и реконструкция отношения для научного спутника Odin - результаты в полете (PDF) (Отчет). Архивировано из оригинал (PDF) 22 мая 2005 г.
  5. ^ Ланге, Антти (2008). «Статистическая калибровка систем наблюдений» (PDF). Вклады Финского метеорологического института. 22: 12–13.
  6. ^ Брокман, Эльмар (1997). «Комбинация решений для геодезических и геодинамических приложений глобальной системы позиционирования (GPS)» (PDF). Geodaetisch-geophysikalische Arbeiten in der Schweiz (на швейцарском немецком языке). 55.
  7. ^ а б Странно, Гилберт; Борре, Борре (1997). Линейная алгебра, геодезия и GPS. Wellesley-Cambridge Press. С. 507–508. ISBN  978-0961408862.
  8. ^ Ланге, Антти (2001). «Одновременная статистическая калибровка измерений задержки сигнала GPS с соответствующими метеорологическими данными». Физика и химия Земли, Часть A: Твердая Земля и геодезия. Амстердам: Elsevier Science. 26 (6–8): 471–473. Дои:10.1016 / S1464-1895 (01) 00086-2. ISSN  1464-1895.
  9. ^ Ланге, Антти (9 октября 2015 г.). Использование блокировки Гельмерта-Вольфа для диагностики и лечения ошибок GNSS (PDF) (Отчет). Бордо: 22-й Всемирный конгресс ITS. Технический аппарат ITS-1636.
  10. ^ Ланге, Антти (15 октября 2003 г.). Оптимальная фильтрация Калмана для сверхнадежного отслеживания (PDF). Дистанционное зондирование атмосферы с использованием спутниковых навигационных систем. Матера, Италия.
  11. ^ Ланге, Антти (1988). Андрез Дж. Осиадач (ред.). Фильтр верхних частот для оптимальной калибровки систем наблюдения с приложениями (PDF). Моделирование и оптимизация больших систем. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета / Кларендон Пресс. С. 311–327.

внешняя ссылка