Роковая теорема - Википедия - Fatous theorem

В комплексный анализ, Теорема Фату, названный в честь Пьер Фату, это заявление о голоморфные функции на единичном диске и их поточечное продолжение до границы диска.

Мотивация и утверждение теоремы

Если у нас есть голоморфная функция ${ displaystyle f}$ определены на открытом единичном диске ${ Displaystyle mathbb {D} = {z: | z | <1 }}$резонно спросить, при каких условиях мы можем продолжить эту функцию до границы единичного круга. Для этого мы можем посмотреть, как функция выглядит на каждом круге внутри диска с центром в 0, каждый с некоторым радиусом. ${ displaystyle r}$. Это определяет новую функцию:

${ displaystyle { begin {cases} f_ {r}: S ^ {1} to mathbb {C} f_ {r} (e ^ {i theta}) = f (re ^ {i theta }) end {case}}}$

куда

${ Displaystyle S ^ {1}: = {е ^ {я theta}: theta in [0,2 pi] } = {z in mathbb {C}: | z | = 1 },}$

- единичный круг. Тогда можно было бы ожидать, что значения расширения ${ displaystyle f}$ на круг должен быть предел этих функций, и поэтому вопрос сводится к определению, когда ${ displaystyle f_ {r}}$ сходится, и в каком смысле, как ${ displaystyle r to 1}$, и насколько хорошо определен этот предел. В частности, если ${ Displaystyle L ^ {p}}$ нормы из этих ${ displaystyle f_ {r}}$ ведете себя хорошо, у нас есть ответ:

Теорема. Позволять ${ displaystyle f: mathbb {D} to mathbb {C}}$ - голоморфная функция такая, что

${ Displaystyle sup _ {0 <р <1} | f_ {r} | _ {L ^ {p} (S ^ {1})} < infty,}$

куда ${ displaystyle f_ {r}}$ определены, как указано выше. потом ${ displaystyle f_ {r}}$ сходится к некоторой функции ${ displaystyle f_ {1} in L ^ {p} (S ^ {1})}$ точечно почти всюду И в ${ Displaystyle L ^ {p}}$ норма. То есть,

${ displaystyle { begin {align} left | f_ {r} (e ^ {i theta}) - f_ {1} (e ^ {i theta}) right | & to 0 && { text { почти для каждого}} theta in [0,2 pi] left | f_ {r} -f_ {1} right | _ {L ^ {p} (S ^ {1})} & до 0 end {выровнено}}}$

Теперь обратите внимание, что этот поточечный предел является радиальным. То есть берется предел по прямой от центра диска до границы круга, и, следовательно, в приведенном выше утверждении говорится, что

${ displaystyle f (re ^ {i theta}) to f_ {1} (e ^ {i theta}) qquad { text {почти для каждого}} theta.}$

Возникает естественный вопрос: после определения этой граничной функции, сойдемся ли мы поточечно к этой функции, взяв предел каким-либо другим способом? То есть, предположим, что вместо того, чтобы следовать по прямой к границе, мы следуем произвольной кривой ${ Displaystyle gamma: [0,1) to mathbb {D}}$ сходится к какой-то точке ${ Displaystyle е ^ {я тета}}$ на границе. Будем ${ displaystyle f}$ сходиться к ${ displaystyle f_ {1} (е ^ {я тета})}$? (Обратите внимание, что приведенная выше теорема является частным случаем ${ Displaystyle гамма (т) = тэ ^ {я тета}}$). Оказывается, кривая ${ displaystyle gamma}$ должно быть не касательный, что означает, что кривая не приближается к своей цели на границе так, чтобы она касалась границы круга. Другими словами, диапазон ${ displaystyle gamma}$ должен содержаться в клине, исходящем из предельной точки. Резюмируем следующим образом:

Определение. Позволять ${ Displaystyle gamma: [0,1) to mathbb {D}}$ - непрерывный путь такой, что ${ displaystyle lim nolimits _ {t to 1} gamma (t) = e ^ {i theta} in S ^ {1}}$. Определять

${ Displaystyle { begin {align} Gamma _ { alpha} & = {z: arg z in [ pi - alpha, pi + alpha] } Gamma _ { alpha } ( theta) & = mathbb {D} cap e ^ {i theta} ( Gamma _ { alpha} +1) end {align}}}$

То есть, ${ Displaystyle Гамма _ { альфа} ( тета)}$ клин внутри диска с углом ${ displaystyle 2 alpha}$ чья ось проходит между ${ Displaystyle е ^ {я тета}}$ и ноль. Мы говорим что ${ displaystyle gamma}$ сходится не касательно к ${ Displaystyle е ^ {я тета}}$, или что это не касательный предел, если существует ${ Displaystyle 0 < альфа <{ tfrac { pi} {2}}}$ такой, что ${ displaystyle gamma}$ содержится в ${ displaystyle Gamma _ { alpha}}$ и ${ Displaystyle lim nolimits _ {т к 1} гамма (т) = е ^ {я тета}}$.

Теорема Фату. Позволять ${ displaystyle f in H ^ {p} ( mathbb {D}).}$ Тогда почти для всех ${ displaystyle theta in [0,2 pi],}$

${ Displaystyle lim _ {т к 1} е ( гамма (т)) = е_ {1} (е ^ {я тета})}$

для любого не касательного предела ${ displaystyle gamma}$ сходится к ${ displaystyle e ^ {я theta},}$ куда ${ displaystyle f_ {1}}$ определяется, как указано выше.

Обсуждение

• Доказательство использует симметрию Ядро Пуассона с использованием Максимальная функция Харди – Литтлвуда для круга.
• Аналогичная теорема часто определяется для пространства Харди над верхней полуплоскостью и доказывается почти так же.

Смотрите также

• Харди космос

Рекомендации

• Джон Б. Гарнетт, Ограниченные аналитические функции, (2006) Springer-Verlag, Нью-Йорк
• Вальтер Рудин. Реальный и комплексный анализ (1987), 3-е изд., McGraw Hill, New York.
• Элиас Штайн, Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций (1970), Princeton University Press, Принстон.