Теорема Фавара - Википедия - Favards theorem

В математике Теорема Фавара, также называемый Теорема Шохата – Фавара., утверждает, что последовательность многочленов, удовлетворяющая подходящему 3-членному отношение повторения это последовательность ортогональные многочлены. Теорема была введена в теорию ортогональных многочленов А. Фавард (1935 ) и Шохат (1938), хотя, по сути, та же теорема использовалась Стилтьес в теории непрерывные дроби за много лет до работы Фавара, и несколько раз переоткрывался другими авторами до работы Фавара.

Заявление

Предположим, что у₀ = 1, у₁, ... - последовательность многочленов, где у_п имеет степень п. Если это последовательность ортогональных многочленов для некоторой положительной весовой функции, то она удовлетворяет трехчленному рекуррентному соотношению. Теорема Фавара примерно противоположна этому и утверждает, что если эти многочлены удовлетворяют 3-членному рекуррентному соотношению вида

{ displaystyle y_ {n + 1} = (x-c_ {n}) y_ {n} -d_ {n} y_ {n-1}}

для некоторых номеров c_п и d_п, то многочлены у_п образуют ортогональную последовательность для некоторого линейного функционала Λ с Λ (1) = 1; другими словами Λ (у_му_п) = 0, если м ≠ п.

Линейный функционал Λ единственен и задается формулой Λ (1) = 1, Λ (у_п) = 0, если п > 0.

Для функционала Λ справедливо Λ (у²
_п) = d_п Λ (у²
_п–1), откуда следует, что Λ положительно определена тогда (и только тогда, когда) числа c_п реальны и числа d_п положительные.

Смотрите также

Оператор Якоби

Теорема Фавара - Википедия - Favards theorem

Заявление

Смотрите также

Рекомендации