Теорема Фавара - Википедия - Favards theorem

В математике Теорема Фавара, также называемый Теорема Шохата – Фавара., утверждает, что последовательность многочленов, удовлетворяющая подходящему 3-членному отношение повторения это последовательность ортогональные многочлены. Теорема была введена в теорию ортогональных многочленов А. Фавард  (1935 ) и Шохат (1938), хотя, по сути, та же теорема использовалась Стилтьес в теории непрерывные дроби за много лет до работы Фавара, и несколько раз переоткрывался другими авторами до работы Фавара.

Заявление

Предположим, что у0 = 1, у1, ... - последовательность многочленов, где уп имеет степень п. Если это последовательность ортогональных многочленов для некоторой положительной весовой функции, то она удовлетворяет трехчленному рекуррентному соотношению. Теорема Фавара примерно противоположна этому и утверждает, что если эти многочлены удовлетворяют 3-членному рекуррентному соотношению вида

для некоторых номеров cп и dп, то многочлены уп образуют ортогональную последовательность для некоторого линейного функционала Λ с Λ (1) = 1; другими словами Λ (умуп) = 0, если м ≠ п.

Линейный функционал Λ единственен и задается формулой Λ (1) = 1, Λ (уп) = 0, если п > 0.

Для функционала Λ справедливо Λ (у2
п
) = dп Λ (у2
п–1
), откуда следует, что Λ положительно определена тогда (и только тогда, когда) числа cп реальны и числа dп положительные.

Смотрите также

Рекомендации

  • Чихара, Теодор Сейо (1978), Введение в ортогональные многочлены, Математика и ее приложения, 13, Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science, ISBN  978-0-677-04150-6, МИСТЕР  0481884 Перепечатано Dover 2011, ISBN  978-0-486-47929-3
  • Фавар, Дж. (1935), "Sur les polynomes de Tchebicheff"., C. R. Acad. Sci. Париж (На французском), 200: 2052–2053, JFM  61.0288.01
  • Rahman, Q. I .; Шмайссер, Г. (2002), Аналитическая теория многочленов, Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, 26, Оксфорд: Oxford University Press, стр. 15–16, ISBN  0-19-853493-0, Zbl  1072.30006
  • Субботин, Ю. Н. (2001) [1994], «Теорема Фавара», Энциклопедия математики, EMS Press
  • Шохат, Дж. (1938), "Sur les polynômes orthogonaux généralises.", C. R. Acad. Sci. Париж (На французском), 207: 556–558, Zbl  0019.40503