Конечные расширения локальных полей - Finite extensions of local fields

В алгебраическая теория чисел, путем завершения, изучение разветвление из главный идеал часто сводится к случаю местные поля где более подробный анализ может быть проведен с помощью таких инструментов, как группы ветвления.

В этой статье локальное поле неархимедово и имеет конечное поле вычетов.

Неразветвленное расширение

Позволять ${ displaystyle L / K}$ - конечное расширение Галуа неархимедовых локальных полей с конечными полями вычетов ${ displaystyle ell / k}$ и группа Галуа ${ displaystyle G}$. Тогда следующие эквивалентны.

• (я) ${ displaystyle L / K}$ является неразветвленный.
• (ii) ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {L} / { mathfrak {p}} { mathcal {O}} _ {L}}$ это поле, где ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ максимальный идеал ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$.
• (iii) ${ Displaystyle [L: K] = [ ell: k]}$
• (iv) подгруппа инерции из ${ displaystyle G}$ тривиально.
• (v) Если ${ displaystyle pi}$ это униформизирующий элемент из ${ displaystyle K}$, тогда ${ displaystyle pi}$ также является униформизирующим элементом ${ displaystyle L}$.

Когда ${ displaystyle L / K}$ не разветвлен в соответствии с (iv) (или (iii)), грамм можно отождествить с ${ displaystyle operatorname {Gal} ( ell / k)}$, которая конечна циклический.

Вышеизложенное подразумевает, что существует эквивалентность категорий между конечными неразветвленными расширениями локального поля K и конечный отделяемые расширения поля вычетовK.

Полностью разветвленное расширение

Опять же, пусть ${ displaystyle L / K}$ - конечное расширение Галуа неархимедовых локальных полей с конечными полями вычетов ${ displaystyle l / k}$ и группа Галуа ${ displaystyle G}$. Следующие варианты эквивалентны.

• ${ displaystyle L / K}$ является полностью разветвленный
• ${ displaystyle G}$ совпадает со своей подгруппой инерции.
• ${ Displaystyle L = К [ pi]}$ куда ${ displaystyle pi}$ является корнем Полином Эйзенштейна.
• Норма ${ Displaystyle N (L / K)}$ содержит униформизатор ${ displaystyle K}$.

Смотрите также

• Лемма Абхьянкара
• Неразветвленный морфизм

Рекомендации

• Касселс, J.W.S. (1986). Местные поля. Тексты студентов Лондонского математического общества. 3. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-31525-5. Zbl  0595.12006.
• Вайс, Эдвин (1976). Алгебраическая теория чисел (2-е изд. Без изменений). Chelsea Publishing. ISBN  0-8284-0293-0. Zbl  0348.12101.