Неразветвленный морфизм - Unramified morphism

В алгебраической геометрии неразветвленный морфизм это морфизм ${ displaystyle f: от X до Y}$ таких схем, что (а) она локально имеет конечное представление и (б) для каждого ${ displaystyle x in X}$ и ${ Displaystyle у = е (х)}$у нас есть это

1. Поле вычетов ${ Displaystyle к (х)}$ это сепарабельное алгебраическое расширение из ${ Displaystyle к (у)}$.
2. ${ displaystyle f ^ { #} ({ mathfrak {m}} _ {y}) { mathcal {O}} _ {x, X} = { mathfrak {m}} _ {x},}$ куда ${ displaystyle f ^ { #}: { mathcal {O}} _ {y, Y} to { mathcal {O}} _ {x, X}}$ и ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {y}, { mathfrak {m}} _ {x}}$ - максимальные идеалы локальных колец.

Плоский неразветвленный морфизм называется этальный морфизм. Менее сильно, если ${ displaystyle f}$ удовлетворяет условиям при ограничении на достаточно малые окрестности ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$, тогда ${ displaystyle f}$ считается неразветвленным рядом ${ displaystyle x}$.

Некоторые авторы предпочитают использовать более слабые условия, и в этом случае они называют морфизм, удовлетворяющий указанным выше условиям, G-неразветвленный морфизм.

Простой пример

Позволять ${ displaystyle A}$ быть кольцом и B кольцо, полученное присоединением составной элемент к А; т.е. ${ Displaystyle В = А [т] / (F)}$ для некоторого монического полинома F. потом ${ displaystyle operatorname {Spec} (B) to operatorname {Spec} (A)}$ неразветвлен тогда и только тогда, когда многочлен F сепарабелен (т.е. он и его производная порождают единичный идеал ${ Displaystyle А [т]}$).

Кривой случай

Позволять ${ displaystyle f: от X до Y}$ - конечный морфизм гладких связных кривых над алгебраически замкнутым полем, п закрытая точка Икс и ${ Displaystyle Q = f (P)}$. Тогда мы имеем локальный гомоморфизм колец ${ displaystyle f ^ { #}: { mathcal {O}} _ {Q} to { mathcal {O}} _ {P}}$ куда ${ displaystyle ({ mathcal {O}} _ {Q}, { mathfrak {m}} _ {Q})}$ и ${ displaystyle ({ mathcal {O}} _ {P}, { mathfrak {m}} _ {P})}$ местные кольца в Q и п из Y и Икс. С ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {P}}$ это кольцо дискретной оценки, есть единственное целое число ${ displaystyle e_ {P}> 0}$ такой, что ${ displaystyle f ^ { #} ({ mathfrak {m}} _ {Q}) { mathcal {O}} _ {P} = {{ mathfrak {m}} _ {P}} ^ {e_ {П}}}$. Целое число ${ displaystyle e_ {P}}$ называется индекс ветвления из ${ displaystyle P}$ над ${ displaystyle Q}$.^[1] С ${ Displaystyle к (P) = к (Q)}$ поскольку базовое поле алгебраически замкнуто, ${ displaystyle f}$ не разветвлен в ${ displaystyle P}$ (по факту, эталь ) если и только если ${ displaystyle e_ {P} = 1}$. Иначе, ${ displaystyle f}$ как говорят, разветвляется на п и Q называется точка разветвления.

Характеристика

Учитывая морфизм ${ displaystyle f: от X до Y}$ то есть локально конечного представления, следующие эквивалентны:^[2]

1. ж неразветвленный.
2. В диагональная карта ${ displaystyle delta _ {f}: от X до X times _ {Y} X}$ это открытое погружение.
3. Относительная котангенциальный пучок ${ displaystyle Omega _ {X / Y}}$ равно нулю.

Смотрите также

• Конечные расширения локальных полей
• Ветвление (математика)

Рекомендации

• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 32. Дои:10.1007 / bf02732123. МИСТЕР  0238860.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157

Этот алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.