Формально гладкая карта - Formally smooth map

В алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра, а кольцевой гомоморфизм ${ displaystyle f: от A до B}$ называется формально гладкий (из Французский: Formellement lisse), если он удовлетворяет следующему бесконечно малому подъем свойство:

Предполагать B дается структура А-алгебра через карту ж. Учитывая коммутативный А-алгебра, C, а нильпотентный идеал ${ Displaystyle N substeq C}$, любой А-алгебр гомоморфизм ${ Displaystyle B к C / N}$ может быть поднят до А-алгебра карта ${ displaystyle B to C}$. Если к тому же любой такой подъем уникален, то ж как говорят формально эталь.^[1][2]

Формально гладкие отображения определялись Александр Гротендик в Éléments de géométrie algébrique IV.

Для конечно представленных морфизмов формальная гладкость эквивалентна обычный понятие гладкости.

Примеры

Гладкие морфизмы

Все гладкие морфизмы ${ displaystyle f: X to S}$ эквивалентны морфизмам локально конечного представления, формально гладким. Следовательно, формальная гладкость - это небольшое обобщение гладких морфизмов.^[3]

Не пример

Одним из методов определения формальной гладкости схемы является использование критерия бесконечно малого подъема. Например, используя морфизм усечения ${ Displaystyle к [т] / (т ^ {3}) к к [т] / (т ^ {2})}$ критерий бесконечно малого подъема можно описать с помощью коммутативного квадрата

${ displaystyle { begin {matrix} X & leftarrow & { text {Spec}} left ({ frac {k [x]} {(x ^ {2})}} right) downarrow && downarrow S & leftarrow & { text {Spec}} left ({ frac {k [x]} {(x ^ {3})}} right) end {matrix}}}$

куда ${ displaystyle X, S in Sch / S}$. Например, если

${ displaystyle X = { text {Spec}} left ({ frac {k [x, y]} {(xy)}} right)}$ и ${ displaystyle Y = { text {Spec}} (k)}$

затем рассмотрим касательный вектор в начале координат ${ Displaystyle (0,0) в Х (к)}$ заданный морфизмом колец

${ displaystyle { frac {k [x, y]} {(xy)}} to { frac {k [t]} {(t ^ {2})}}}$

отправка

${ Displaystyle { begin {выровнено} x & mapsto varepsilon y & mapsto varepsilon end {align}}}$

Обратите внимание, потому что ${ displaystyle xy mapsto varepsilon ^ {2} = 0}$, это допустимый морфизм коммутативных колец. Тогда, поскольку поднятие этого морфизма до

${ displaystyle { text {Spec}} left ({ frac {k [t]} {(t ^ {3})}} right) to X}$

имеет форму

${ displaystyle { begin {align} x & mapsto varepsilon + a varepsilon ^ {2} y & mapsto varepsilon + b varepsilon ^ {2} end {align}}}$

и ${ displaystyle xy mapsto varepsilon ^ {2} + (a + b) varepsilon ^ {3} = varepsilon ^ {2}}$, не может быть бесконечно малого подъема, поскольку он не равен нулю, поэтому ${ displaystyle X in Sch / k}$ не является формально гладким. Это также доказывает, что этот морфизм негладкий из эквивалентности между формально гладкими морфизмами локально конечного представления и гладкими морфизмами.

Смотрите также

• Двойной номер
• Гладкий морфизм
• Теория деформации

Рекомендации

внешняя ссылка

• Формально гладкая с гладкими волокнами, но не гладкая https://mathoverflow.net/q/333596
• Формально гладкая, но не гладкая https://mathoverflow.net/q/195

Этот абстрактная алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.