Неравенство Фридрихса - Википедия - Friedrichss inequality

В математика, Неравенство Фридрихса это теорема из функциональный анализ, из-за Курт Фридрихс. Это накладывает ограничение на L^п норма функции, использующей L^п границы слабые производные функции и геометрия из домен, и может использоваться, чтобы показать, что определенные нормы на Соболевские пространства эквивалентны. Неравенство Фридрихса является общим случаем Неравенство Пуанкаре – Виртингера. который имеет дело с деломk = 1.

Формулировка неравенства

Позволять ${ displaystyle Omega}$ быть ограниченное подмножество из Евклидово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ с диаметр ${ displaystyle d}$. Предположим, что ${ displaystyle u: Omega to mathbb {R}}$ лежит в пространстве Соболева ${ displaystyle W_ {0} ^ {k, p} ( Omega)}$, т.е. ${ Displaystyle и в W ^ {k, p} ( Omega)}$ и след из ${ displaystyle u}$ на границе ${ displaystyle partial Omega}$ равно нулю. потом

${ displaystyle | u | _ {L ^ {p} ( Omega)} leq d ^ {k} left ( sum _ {| alpha | = k} | mathrm {D} ^ { alpha} u | _ {L ^ {p} ( Omega)} ^ {p} right) ^ {1 / p}.}$

В приведенном выше

• ${ Displaystyle | cdot | _ {L ^ {p} ( Omega)}}$ обозначает L^п норма;
• α = (α₁, ..., α_п) это мультииндекс с нормой |α| = α₁ + ... + α_п;
• D^αты смешанный частная производная

${ displaystyle mathrm {D} ^ { alpha} u = { frac { partial ^ {| alpha |} u} { partial _ {x_ {1}} ^ { alpha _ {1}} cdots partial _ {x_ {n}} ^ { alpha _ {n}}}}.}$

Смотрите также

• Неравенство Пуанкаре

Рекомендации

• Ректорис, Карел (2001) [1977]. «Неравенство Фридрихса. Неравенство Пуанкаре». Вариационные методы в математике, науке и технике (2-е изд.). Дордрехт: Рейдел. С. 188–198. ISBN  1-4020-0297-1.

Этот математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.