Нормальная форма Фробениуса - Frobenius normal form

В линейная алгебра, то Нормальная форма Фробениуса или же рациональная каноническая форма из квадратная матрица А с записями в поле F это каноническая форма за матрицы полученным сопряжением обратимыми матрицами над F. Форма отражает минимальное разложение векторного пространства на подпространства, циклические для А (т. е. натянутый на некоторый вектор и его повторяющиеся изображения под А). Поскольку только одна нормальная форма может быть получена из данной матрицы (отсюда и «каноническая»), матрица B является похожий к А тогда и только тогда, когда он имеет ту же рациональную каноническую форму, что и А. Поскольку эту форму можно найти без каких-либо операций, которые могут измениться при расширение поле F (отсюда и «рациональное»), особенно без факторизации многочленов, это показывает, что сходство двух матриц не меняется при расширении поля. Форма названа в честь немецкого математика. Фердинанд Георг Фробениус.

Некоторые авторы используют термин рациональная каноническая форма для обозначения несколько иной формы, которая более правильно называется первичная рациональная каноническая форма. Вместо того чтобы разлагаться на минимальное количество циклических подпространств, первичная форма распадается на максимальное количество циклических подпространств. Он также определяется F, но имеет несколько другие свойства: для поиска формы требуется факторизация многочленов, и, как следствие, первичная рациональная каноническая форма может измениться, когда та же матрица рассматривается над полем расширения F. В этой статье в основном рассматривается форма, которая не требует факторизации, и явно упоминается «первичная», когда имеется в виду форма, использующая факторизацию.

Мотивация

При попытке выяснить, действительно ли две квадратные матрицы А и B похожи, один подход состоит в том, чтобы попытаться для каждого из них разложить векторное пространство, насколько это возможно, на прямую сумму стабильных подпространств и сравнить соответствующие действия на этих подпространствах. Например, если оба диагонализуемы, то можно взять разложение на собственные подпространства (для которых действие настолько простое, насколько это возможно, а именно скаляр), и тогда сходство может быть определено путем сравнения собственных значений и их кратностей. Хотя на практике это часто бывает довольно проницательным, у этого метода есть различные недостатки. Во-первых, требуется найти все собственные значения, скажем, как корни характеристического многочлена, но может оказаться невозможным дать для них явное выражение. Во-вторых, полный набор собственных значений может существовать только в расширении поля, над которым вы работаете, и тогда вы не получите доказательства сходства по исходному полю. Ну наконец то А и B может быть не диагонализуем даже по этому большему полю, и в этом случае вместо этого нужно использовать разложение на обобщенные собственные подпространства и, возможно, на жордановы блоки.

Но получение такого точного разложения не обязательно, чтобы просто решить, похожи ли две матрицы. Рациональная каноническая форма вместо этого основана на использовании разложения прямой суммы на стабильные подпространства, которые являются как можно большими, при этом позволяя очень простое описание действия на каждом из них. Эти подпространства должны быть порождены одним ненулевым вектором v и все его изображения путем многократного применения линейного оператора, связанного с матрицей; такие подпространства называются циклическими подпространствами (по аналогии с циклическими подгруппами), и они, очевидно, устойчивы относительно линейного оператора. Базис такого подпространства получается, если взять v и его последовательные изображения, пока они линейно независимы. Матрица линейного оператора относительно такого базиса есть сопутствующая матрица монического полинома; этот многочлен (минимальный многочлен оператора, ограниченного подпространством, понятие аналогично понятию порядка циклической подгруппы) определяет действие оператора на циклическом подпространстве с точностью до изоморфизма и не зависит от выбора вектор v порождающее подпространство.

Разложение прямой суммой на циклические подпространства всегда существует, и его нахождение не требует факторизации многочленов. Однако возможно, что циклические подпространства допускают разложение в виде прямой суммы меньших циклических подпространств (по существу, по Китайская теорема об остатках ). Следовательно, просто наличия для обеих матриц некоторого разбиения пространства на циклические подпространства и знания соответствующих минимальных многочленов само по себе недостаточно для определения их подобия. Дополнительное условие накладывается, чтобы гарантировать, что для одинаковых матриц можно получить разложения на циклические подпространства, которые точно совпадают: в списке связанных минимальных многочленов каждый должен делить следующий (а постоянный многочлен 1 запрещается исключать тривиальные циклические подпространства размерности 0 ). Полученный список многочленов называется инвариантные факторы из K[Икс] -модуль, определяемый) матрицей, и две матрицы подобны тогда и только тогда, когда они имеют идентичные списки инвариантных факторов. Рациональная каноническая форма матрицы А получается выражением его на основе, адаптированной к разложению на циклические подпространства, ассоциированные минимальные многочлены которых являются инвариантными множителями А; две матрицы подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую рациональную каноническую форму.

Пример

Рассмотрим следующую матрицу A над Q:

{ displaystyle scriptstyle A = { begin {pmatrix} -1 & 3 & -1 & 0 & -2 & 0 & 0 & -2 - 1 & -1 & 1 & 1 & -2 & -1 & 0 & -1 - 2 & -6 & 4 & 3 & -8 & -4 & -2 & 1 - 1 & 8 & - 3 & -1 & 5 & 2 & 3 & -3 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 1 & 0 end {pmatrix}}.}

А имеет минимальный многочлен ${ displaystyle mu = X ^ {6} -4X ^ {4} -2X ^ {3} + 4X ^ {2} + 4X + 1}$ , так что размерность подпространства, порожденного повторяющимися изображениями одного вектора, не превосходит 6. характеристический многочлен является ${ displaystyle chi = X ^ {8} -X ^ {7} -5X ^ {6} + 2X ^ {5} + 10X ^ {4} + 2X ^ {3} -7X ^ {2} -5X- 1}$ , который кратен минимальному многочлену на множитель ${ displaystyle X ^ {2} -X-1}$ . Всегда существуют векторы такие, что циклическое подпространство, которое они порождают, имеет тот же минимальный многочлен, что и оператор на всем пространстве; действительно, большинство векторов будут обладать этим свойством, и в этом случае первый стандартный базисный вектор ${ displaystyle e_ {1}}$ делает так: векторы ${ Displaystyle А ^ {к} (е_ {1})}$ за ${ Displaystyle к = 0,1, ldots, 5}$ линейно независимы и порождают циклическое подпространство с минимальным полиномом ${ displaystyle mu}$ . Существуют дополнительные стабильные подпространства (размерности 2) к этому циклическому подпространству и пространство, порожденное векторами ${ displaystyle v = (3,4,8,0, -1,0,2, -1) ^ { top}}$ и ${ displaystyle w = (5,4,5,9, -1,1,1, -2) ^ { top}}$ это пример. На самом деле есть ${ Displaystyle А cdot v = ш}$ , поэтому дополнительное подпространство - это циклическое подпространство, порожденное ${ displaystyle v}$ ; он имеет минимальный многочлен ${ displaystyle X ^ {2} -X-1}$ . С ${ displaystyle mu}$ минимальный многочлен всего пространства, ясно, что ${ displaystyle X ^ {2} -X-1}$ должен разделить ${ displaystyle mu}$ (и это легко проверить), и мы нашли инвариантные множители ${ displaystyle X ^ {2} -X-1}$ и ${ displaystyle mu = X ^ {6} -4X ^ {4} -2X ^ {3} + 4X ^ {2} + 4X + 1}$ из А. Тогда рациональная каноническая форма А является блочно-диагональной матрицей с соответствующими сопутствующими матрицами в виде диагональных блоков, а именно

{ Displaystyle scriptstyle С = { начинаются {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -4 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 конец {pmatrix}}.}

Основу, на которой достигается эта форма, составляют векторы ${ displaystyle v, w}$ выше, а затем ${ Displaystyle А ^ {к} (е_ {1})}$ за ${ Displaystyle к = 0,1, ldots, 5}$ ; явно это означает, что для

{ displaystyle scriptstyle P = { begin {pmatrix} 3 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 & -4 & 0 4 & 4 & 0 & -1 & -1 & -2 & -3 & -5 8 & 5 & 0 & -2 & -5 & -2 & -11 & -6 0 & 9 & 0 & -1 & 3 & - 2 & 0 & 0 - 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 4 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 2 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -6 - 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 4 & -2 end {pmatrix}}}

,

надо ${ displaystyle A = PCP ^ {- 1}.}$

Общий случай и теория

Исправить базовое поле F и конечный-размерный векторное пространство V над F. Учитывая многочлен п(Икс) ∈ F[Икс], с ним связана сопутствующая матрица C чей характеристический многочлен является п(Икс).

Теорема: Позволять V - конечномерное векторное пространство над полем F, и А квадратная матрица над F. потом V (рассматривается как F[Икс]-модуль с действием Икс данный А и продолжающийся по линейности) удовлетворяет F[Икс] -модульный изоморфизм

V ≅ F[Икс]/(а₁(Икс)) ⊕ … ⊕ F[Икс]/(а_п(Икс))

где а_я(Икс) ∈ F[Икс] может считаться не-единицы, уникальный как монические полиномы, и может быть устроена так, чтобы удовлетворять соотношению

а₁(Икс) | … | а_п(Икс)

где "a | b" обозначает "а разделяет б".

Эскиз доказательства: Применить структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов к V, рассматривая его как F[Икс] -модуль. Обратите внимание, что любые бесплатные F[Икс] -модуль бесконечномерен над F, так что полученное разложение в прямую сумму не имеет свободный часть с V конечномерна. Единственность инвариантных факторов требует отдельного доказательства того, что они определены с точностью до единиц; тогда моническое условие гарантирует, что они однозначно определены. Доказательство последней части опускается. Подробнее см. [DF].

Для произвольной квадратной матрицы элементарные делители используется при строительстве Нормальная форма Джордана не существуют над F[Икс], Итак инвариантные факторы а_я(Икс), как указано выше. Они соответствуют множителям минимального многочлена м(Икс) = а_п(Икс), который (по Теорема Кэли – Гамильтона ) сам делит характеристический многочлен п(Икс) и фактически имеет те же корни, что и п(Икс), не считая кратностей. Отметим, в частности, что теорема утверждает, что инвариантные множители имеют коэффициенты в F.

Поскольку каждый инвариантный фактор а_я(Икс) - многочлен от F[Икс], мы можем сопоставить соответствующий блочная матрица C_я какой сопутствующая матрица к а_я(Икс). В частности, каждый такой C_я имеет свои записи в поле F.

Взяв матрицу прямой суммы этих блоков по всем инвариантным множителям, получаем рациональная каноническая форма из А. Если минимальный многочлен идентичен характеристическому многочлену, нормальная форма Фробениуса является сопутствующей матрицей характеристического многочлена. Поскольку рациональная каноническая форма однозначно определяется уникальными инвариантными факторами, связанными с А, и эти инвариантные множители не зависят от основа, следует, что две квадратные матрицы А и B подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую рациональную каноническую форму.

Рациональная нормальная форма, обобщающая жорданову нормальную форму

Нормальная форма Фробениуса не отражает никакой формы факторизации характеристического многочлена, даже если он существует над основным полем. F. Это означает, что он инвариантен, когда F заменяется другим полем (если оно содержит элементы исходной матрицы А). С другой стороны, это отличает нормальную форму Фробениуса от других нормальных форм, которые действительно зависят от факторизации характеристического многочлена, особенно диагональная форма (если А диагонализуема) или, в более общем смысле, Нормальная форма Джордана (если характеристический многочлен разбивается на линейные множители). Например, нормальная форма Фробениуса диагональной матрицы с различными диагональными элементами - это просто сопутствующая матрица ее характеристического многочлена.

Есть еще один способ определить нормальную форму, которая, как и нормальная форма Фробениуса, всегда определяется над одним и тем же полем. F в качестве А, но это действительно отражает возможную факторизацию характеристического многочлена (или, что то же самое, минимального многочлена) на неприводимые множители над F, и который сводится к жордановой нормальной форме, когда эта факторизация содержит только линейные множители (соответствующие собственные значения ). Эта форма^[1] иногда называют обобщенная жорданова нормальная форма, или же первичная рациональная каноническая форма. Он основан на том, что векторное пространство можно канонически разложить на прямую сумму стабильных подпространств, соответствующих отчетливый несводимые факторы п характеристического многочлена (как утверждается lemme des noyaux [fr ]^[2]), где характеристический многочлен каждого слагаемого является степенью соответствующего п. Эти слагаемые могут быть далее разложены неканонически как прямая сумма циклических F[Икс] -модули (как это сделано для нормальной формы Фробениуса выше), где характеристический многочлен каждого слагаемого по-прежнему (как правило, меньшая) степень п. Первичная рациональная каноническая форма - это блочно-диагональная матрица соответствующая такому разложению на циклические модули, с определенной формой, называемой обобщенная жорданова блок в диагональных блоках, соответствующих конкретному выбору базиса для циклических модулей. Эта обобщенная жорданова блокировка сама является блочная матрица формы

{ displaystyle scriptstyle { begin {pmatrix} C & 0 & cdots & 0 U & C & cdots & 0 vdots & ddots & ddots & vdots 0 & cdots & U & C end {pmatrix}}}

куда C сопутствующая матрица неприводимого многочлена $п$ , и $U$ - матрица, единственный ненулевой элемент которой равен единице в правом верхнем углу. В случае линейного неприводимого множителя $п = Икс - λ$ , эти блоки сводятся к одиночным записям $C = λ$ и $U = 1$ и можно найти (транспонированный) Иорданский блок. В любой обобщенной жордановой клетке все элементы, расположенные непосредственно под главной диагональю, равны 1. Базис циклического модуля, порождающего эту форму, получается выбором порождающего вектора $v$ (тот, который не уничтожается $п k -1 (А)$ где минимальный многочлен циклического модуля равен $п k$ ), и взяв за основу

{ Displaystyle v, A (v), A ^ {2} (v), ldots, A ^ {d-1} (v), ~ P ​​(A) (v), A (P (A) (v) )), ldots, A ^ {d-1} (P (A) (v)), ~ P ​​^ {2} (A) (v), ldots, ~ P ​​^ {k-1} (A) (v), ldots, A ^ {d-1} (P ^ {k-1} (A) (v))}

куда $d = град (п)$ .

Смотрите также

Нормальная форма Смита

внешняя ссылка

Рациональная каноническая форма (Mathworld)

Алгоритмы

[1] Фани Бхушан Бхаттачарья, Сурендер Кумар Джайн, С. Р. Нагпаул, Базовая абстрактная алгебра, Теорема 5.4, стр.423

[2] Ксавье Гурдон, Les maths en tête, Mathématiques pour M ', Algèbre, 1998, Эллипсы, Th. 1 шт. 173

[1]

[2]