Полный отзыв о состоянии - Википедия - Full state feedback

Полный отзыв о состоянии (FSF), или размещение полюса, это метод, используемый в Обратная связь теория систем управления для размещения полюса замкнутого контура из растение в заранее определенных местах в s-plane.^[1] Размещение полюсов желательно, потому что расположение полюсов прямо соответствует собственные значения системы, которые контролируют характеристики отклика системы. Систему нужно учитывать управляемый для реализации этого метода.

Принцип

Система в разомкнутом контуре

Если динамика замкнутого контура может быть представлена ​​уравнением пространства состояний (см. Пространство состояний (элементы управления) )

${ displaystyle { dot { underline {x}}} = mathbf {A} { underline {x}} + mathbf {B} { underline {u}},}$

с выходным уравнением

${ displaystyle { underline {y}} = mathbf {C} { underline {x}} + mathbf {D} { underline {u}},}$

то полюса передаточной функции системы являются корнями характеристического уравнения, заданного формулой

${ displaystyle left | s { textbf {I}} - { textbf {A}} right | = 0.}$

Полная обратная связь по состоянию используется путем управления входным вектором ${ displaystyle { underline {u}}}$. Рассмотрим вход, пропорциональный (в матричном смысле) вектору состояния,

Система с обратной связью по состоянию (замкнутый контур)

${ displaystyle { underline {u}} = - mathbf {K} { underline {x}}}$.

Подставляя в приведенные выше уравнения пространства состояний, мы имеем

${ displaystyle { dot { underline {x}}} = ( mathbf {A} - mathbf {B} mathbf {K}) { underline {x}}}$

${ displaystyle { underline {y}} = ( mathbf {C} - mathbf {D} mathbf {K}) { underline {x}}.}$

Полюса системы ФСП задаются характеристическим уравнением матрицы ${ displaystyle mathbf {A} - mathbf {B} mathbf {K}}$, ${ displaystyle det left [s { textbf {I}} - left ({ textbf {A}} - { textbf {B}} { textbf {K}} right) right] = 0 }$. Сравнение членов этого уравнения с членами искомого характеристического уравнения дает значения матрицы обратной связи ${ displaystyle { textbf {K}}}$ которые вынуждают собственные значения замкнутого контура к положениям полюсов, заданным желаемым характеристическим уравнением.^[2]

Пример ФСПО

Рассмотрим систему, заданную следующими уравнениями пространства состояний:

${ displaystyle { dot { underline {x}}} = { begin {bmatrix} 0 & 1 - 2 & -3 end {bmatrix}} { underline {x}} + { begin {bmatrix} 0 1 end {bmatrix}} { underline {u}}.}$

Неуправляемая система имеет разомкнутые полюса на ${ displaystyle s = -1}$ и ${ displaystyle s = -2}$. Эти полюса являются собственными значениями ${ displaystyle mathbf {A}}$ матрица и они являются корнями ${ displaystyle left | s mathbf {I} - mathbf {A} right |}$. Предположим, для рассмотрения отклика мы хотим, чтобы собственные значения управляемой системы находились в ${ displaystyle s = -1}$ и ${ displaystyle s = -5}$, которых у нас нет. Тогда желаемое характеристическое уравнение имеет вид ${ displaystyle s ^ {2} + 6s + 5 = 0}$, из ${ Displaystyle (s + 1) (s + 5)}$.

Следуя описанной выше процедуре, характеристическое уравнение управляемой системы FSF имеет вид

${ displaystyle left | s mathbf {I} - left ( mathbf {A} - mathbf {B} mathbf {K} right) right | = det { begin {bmatrix} s & -1 2 + k_ {1} & s + 3 + k_ {2} end {bmatrix}} = s ^ {2} + (3 + k_ {2}) s + (2 + k_ {1}),}$

где

${ displaystyle mathbf {K} = { begin {bmatrix} k_ {1} & k_ {2} end {bmatrix}}.}$

Приравнивая это характеристическое уравнение к искомому характеристическому уравнению, находим

${ displaystyle mathbf {K} = { begin {bmatrix} 3 & 3 end {bmatrix}}}$.

Следовательно, полагая ${ displaystyle { underline {u}} = - mathbf {K} { underline {x}}}$ принудительно перемещает полюса замкнутого контура в желаемые места, влияя на реакцию по желанию.

Это работает только для систем с одним входом. Системы с несколькими входами будут иметь ${ displaystyle { textbf {K}}}$ матрица, которая не является уникальной. Поэтому выбирая лучшее ${ displaystyle { textbf {K}}}$ ценности нетривиально. А линейно-квадратичный регулятор может использоваться для таких приложений^{[нужна цитата ]}.

Смотрите также

• Расщепление полюсов
• Шаговый ответ
• Формула Аккермана
• Линейно-квадратичный регулятор

Рекомендации

внешняя ссылка

• Функция Mathematica для вычисления усиления обратной связи по состоянию