Квадратура Гаусса – Эрмита - Gauss–Hermite quadrature

Вес по сравнению с Икс_я для четырех вариантов п

В числовой анализ, Квадратура Гаусса – Эрмита это форма Квадратура Гаусса для аппроксимации значения интегралов следующего вида:

${displaystyle int _ {- infty} ^ {+ infty} e ^ {- x ^ {2}} f (x), dx.}$

В этом случае

${displaystyle int _ {- infty} ^ {+ infty} e ^ {- x ^ {2}} f (x), dxapprox sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} f (x_ {i} )}$

куда п - количество использованных точек выборки. В Икс_я являются корнями версии физиков о Многочлен Эрмита ЧАС_п(Икс) (я = 1,2,...,п) и соответствующие веса ш_я даны^[1]

${displaystyle w_ {i} = {гидроразрыв {2 ^ {n-1} n! {sqrt {pi}}} {n ^ {2} [H_ {n-1} (x_ {i})] ^ {2} }}.}$

Пример с заменой переменной

Рассмотрим функцию ч (у), где переменная у является Нормально распределенный: ${displaystyle ysim {mathcal {N}} (mu, sigma ^ {2})}$. В ожидание из час соответствует следующему интегралу:

${displaystyle E [h (y)] = int _ {- infty} ^ {+ infty} {frac {1} {sigma {sqrt {2pi}}}} exp left (- {frac {(y-mu) ^ { 2}} {2sigma ^ {2}}} ight) h (y) dy}$

Поскольку это не совсем соответствует полиному Эрмита, нам нужно заменить переменные:

${displaystyle x = {frac {y-mu} {{sqrt {2}} sigma}} Leftrightarrow y = {sqrt {2}} sigma x + mu}$

В сочетании с интеграция путем замены, мы получаем:

${displaystyle E [h (y)] = int _ {- infty} ^ {+ infty} {frac {1} {sqrt {pi}}} exp (-x ^ {2}) h ({sqrt {2}} сигма x + mu) dx}$

ведущие к:

${displaystyle E [h (y)] приблизительно {frac {1} {sqrt {pi}}} sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} h ({sqrt {2}} sigma x_ {i} + mu)}$

Рекомендации

• Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В., ред. (2010), «Квадратура: формула Гаусса – Эрмита», Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• Shao, T. S .; Chen, T. C .; Франк, Р. М. (1964). «Таблицы нулей и гауссовских весов некоторых ассоциированных многочленов Лагерра и связанных с ними обобщенных многочленов Эрмита». Математика. Comp. 18 (88): 598–616. Дои:10.1090 / S0025-5718-1964-0166397-1. МИСТЕР  0166397.
• Steen, N.M .; Byrne, G.D .; Гелбард, Э. М. (1969). "Квадратуры Гаусса для интегралов ${displaystyle extstyle int _ {0} ^ {infty} e ^ {- x ^ {2}} f (x) dx}$ и ${displaystyle extstyle int _ {0} ^ {b} e ^ {- x ^ {2}} f (x) dx}$". Математика. Comp. 23 (107): 661–671. Дои:10.1090 / S0025-5718-1969-0247744-3. МИСТЕР  0247744.
• Шизгал Б. (1981). «Квадратурная процедура Гаусса для использования при решении уравнения Больцмана и связанных с ним проблем». J. Comput. Phys. 41: 309–328. Дои:10.1016/0021-9991(81)90099-1.

внешняя ссылка

• Для таблиц абсцисс Гаусса-Эрмита и весов на заказ п = 32 см. http://www.efunda.com/math/num_integration/findgausshermite.cfm.
• Обобщенная квадратура Гаусса – Эрмита., бесплатно программное обеспечение в C ++, Fortran и Matlab