Квадратура Гаусса – Лагерра - Gauss–Laguerre quadrature

В числовой анализ Квадратура Гаусса – Лагерра (названный в честь Карл Фридрих Гаусс и Эдмон Лагерр ) является продолжением Квадратура Гаусса метод аппроксимации значения интегралов следующего вида:

{displaystyle int _ {0} ^ {+ infty} e ^ {- x} f (x), dx.}

В этом случае

{displaystyle int _ {0} ^ {+ infty} e ^ {- x} f (x), dxapprox sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} f (x_ {i})}

куда Икс_я это я-й корень из Полином Лагерра L_п(Икс) и вес ш_я дан кем-то^[1]

{displaystyle w_ {i} = {frac {x_ {i}} {left (n + 1ight) ^ {2} left [L_ {n + 1} left (x_ {i} ight) ight)] ^ {2}}} .}

Для более общих функций

Чтобы интегрировать функцию ${displaystyle f}$ применим следующее преобразование

{displaystyle int _ {0} ^ {infty} f (x), dx = int _ {0} ^ {infty} f (x) e ^ {x} e ^ {- x}, dx = int _ {0} ^ {infty} g (x) e ^ {- x}, dx}

куда ${displaystyle gleft (xight): = e ^ {x} fleft (xight)}$ . Затем для последнего интеграла используется квадратура Гаусса-Лагерра. Обратите внимание, что хотя этот подход работает с аналитической точки зрения, он не всегда численно устойчив.

Обобщенная квадратура Гаусса – Лагерра.

В более общем смысле можно также рассматривать подынтегральные выражения, для которых известно ${displaystyle x ^ {alpha}}$ степенная особенность при Икс= 0, для некоторого действительного числа ${displaystyle alpha> -1}$ , что приводит к интегралам вида: