Псевдоспектральный метод Гаусса - Википедия - Gauss pseudospectral method

В Псевдоспектральный метод Гаусса (GPM), один из многие темы названы в честь Карл Фридрих Гаусс, представляет собой метод прямой транскрипции для дискретизации непрерывного оптимальный контроль проблема в нелинейная программа (НЛП). Псевдоспектральный метод Гаусса отличается от ряда других псевдоспектральные методы в том, что динамика не совмещена ни в одной из конечных точек временного интервала. Это словосочетание в сочетании с правильным приближением к стоить, приводит к набору ККТ условия, которые идентичны дискретизированной форме условий оптимальности первого порядка. Эта эквивалентность между условиями KKT и дискретизированными условиями оптимальности первого порядка приводит к точной оценке затрат с использованием KKT-множителей NLP.

Описание

Метод основан на теории ортогональных словосочетание где точки коллокации (т. е. точки, в которых дискретизируется задача оптимального управления) являются Legendre –Гаусс (LG) очки. Подход, используемый в GPM, заключается в использовании Полином Лагранжа приближение для состояния, которое включает коэффициенты для начального состояния плюс значения состояния в N точках LG. Несколько противоположным образом приближение для стоить (сопряженное) выполняется с использованием базиса полиномов Лагранжа, который включает окончательное значение стоимости плюс стоимость в N точках LG. Эти два приближения вместе приводят к способности отображать KKT-множители нелинейной программы (NLP) в стоимость задачи оптимального управления в N точках LG ПЛЮС граничных точках. Теорема об отображении ребер, возникающая из GPM, описана в нескольких источниках, включая две кандидатские диссертации.[1][2] и журнальные статьи, которые включают теорию и приложения[3][4][5]

Фон

Псевдоспектральные методы, также известные как ортогональные методы коллокации, в оптимальном управлении возникла из спектральных методов, которые традиционно использовались для решения задач гидродинамики.[6][7] Основная работа по ортогональным методам коллокации для задач оптимального управления началась в 1979 году с работой Reddien.[8] и некоторые из первых работ, использующих методы ортогонального сочетания в инженерии, можно найти в химической инженерной литературе.[9] В более поздних работах в области химической и аэрокосмической техники использовалось совмещение в точках Лежандра – Гаусса – Радау (LGR).[10][11][12][13] В сообществе аэрокосмической техники было разработано несколько хорошо известных псевдоспектральных методов для решения задач оптимального управления, таких как Чебышев псевдоспектральный метод (CPM)[14][15] то Псевдоспектральный метод Лежандра (LPM)[16] и псевдоспектральный метод Гаусса (GPM).[17] CPM использует полиномы Чебышева для аппроксимации состояния и управления, а также выполняет ортогональную коллокацию на уровне Чебышева – Гаусса–Лобатто (CGL) баллы. Улучшение Псевдоспектральный метод Чебышева который использует квадратуру Кленшоу – Кертиса.[18] LPM использует полиномы Лагранжа для приближений и точки Лежандра – Гаусса – Лобатто (LGL) для ортогональной коллокации. Процедура оценки стоимости Псевдоспектральный метод Лежандра также был разработан.[19] Недавняя работа показывает несколько вариантов стандартного LPM, псевдоспектрального метода Якоби.[20] - это более общий псевдоспектральный подход, который использует многочлены Якоби для поиска точек коллокации, подмножеством которых являются многочлены Лежандра. Другой вариант, называемый методом Эрмита-LGL.[21] использует кусочно-кубические полиномы, а не полиномы Лагранжа, и размещается в подмножестве точек LGL.

Смотрите также

Ссылки и примечания

  1. ^ Бенсон, Д.А., Псевдоспектральная транскрипция Гаусса для оптимального управления, Кандидат наук. Диссертация, кафедра аэронавтики и астронавтики, Массачусетский технологический институт, ноябрь 2004 г.,
  2. ^ Хантингтон, Г. Т., Развитие и анализ псевдоспектральной транскрипции Гаусса для оптимального управления, Кандидат наук. Диссертация, факультет аэронавтики и астронавтики, Массачусетский технологический институт, май 2007 г.
  3. ^ Бенсон, Д.А., Хантингтон, Г.Т., Торвальдсен, Т.П., и Рао, А.В., "Прямая оптимизация траектории и оценка стоимости с помощью метода ортогональной коллокации", Журнал наведения, управления и динамики. Vol. 29, № 6, ноябрь – декабрь 2006 г., стр. 1435–1440.,
  4. ^ Хантингтон, Г.Т., Бенсон, Д.А., Рао, А.В., "Оптимальная конфигурация формаций четырехгранных космических аппаратов", Журнал астронавтических наук. Vol. 55, № 2, март – апрель 2007 г., стр. 141–169.
  5. ^ Хантингтон, Г. и Рао, А.В., "Оптимальное изменение конфигурации космических аппаратов с использованием псевдоспектрального метода Гаусса", Журнал наведения, управления и динамики. Vol. 31, № 3, март – апрель 2008 г., стр. 689–698.
  6. ^ Кануто, К., Хуссаини, М., Квартерони, А., Занг, Т.А., Спектральные методы в динамике жидкости, Springer – Verlag, Нью-Йорк, 1988.
  7. ^ Форнберг, Б., Практическое руководство по псевдоспектральным методам, Издательство Кембриджского университета, 1998.
  8. ^ Реддин, Г.В., "Коллокация в точках Гаусса как дискретизация в оптимальном управлении",SIAM Journal по управлению и оптимизации, Vol. 17, No. 2, март 1979 г.
  9. ^ Катрелл, Дж. Э. и Биглер, Л. Т., «Одновременные методы оптимизации и решения для профилей управления реактором периодического действия», Компьютеры и химическая инженерия, Vol. 13, № 1/2, 1989 г., стр. 49–62.
  10. ^ Hedengren, J.D .; Asgharzadeh Shishavan, R .; Powell, K.M .; Эдгар, Т.Ф. (2014). «Нелинейное моделирование, оценка и прогнозное управление в APMonitor». Компьютеры и химическая инженерия. 70 (5): 133–148. Дои:10.1016 / j.compchemeng.2014.04.013.
  11. ^ Фахру Ф. и Росс И., «Псевдоспектральные методы для решения нелинейных задач оптимального управления бесконечным горизонтом», Конференция по руководству, навигации и управлению AIAA, 2005 г., документ AIAA 2005–6076, Сан-Франциско, Калифорния, 15–18 августа 2005 г.
  12. ^ Камесваран С. и Биглер Л. Т., «Скорость сходимости для динамической оптимизации с использованием коллокации по Радау», Конференция SIAM по оптимизации, Стокгольм, Швеция, 2005 г.
  13. ^ Камесваран, С., Биглер, Л.Т., «Скорость сходимости для прямой транскрипции задач оптимального управления в точках Радау», Труды Американской конференции по контролю 2006 г., Миннеаполис, Миннесота, июнь 2006 г.
  14. ^ Влассенбрук, Дж., Ван Дорин, Р., "Чебышевский метод решения нелинейных задач оптимального управления", IEEE Transactions по автоматическому контролю, Vol. 33, № 4, 1988 г., стр. 333–340.
  15. ^ Влассенброк, Дж., "Метод полиномов Чебышева для оптимального управления с ограничениями состояния", Automatica, Vol. 24. 1988. С. 499–506.
  16. ^ Эльнагар Дж., Каземи М. А., Раззаги М. Псевдоспектральный метод Лежандра для дискретизации задач оптимального управления. IEEE Transactions по автоматическому контролю, Vol. 40, № 10, 1995, стр. 1793–1796
  17. ^ Бенсон, Д.А., Хантингтон, Г.Т., Торвальдсен, Т.П., Рао, А.В., «Прямая оптимизация траектории и оценка стоимости с помощью метода ортогональной коллокации», Журнал наведения, управления и динамики, Vol. 29, № 6, ноябрь – декабрь 2006 г., стр. 1435–1440.
  18. ^ Фахру Ф., Росс И. М. Оптимизация прямой траектории с помощью псевдоспектрального метода Чебышева. Журнал наведения, управления и динамики, Vol. 25, № 1, январь – февраль 2002 г., стр. 160–166.
  19. ^ Росс И. М., Фару Ф. Лежандровские псевдоспектральные аппроксимации задач оптимального управления.Конспект лекций по управлению и информатике, Издание 295, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2003 г.
  20. ^ Уильямс П., “Псевдоспектральный метод Якоби для решения задач оптимального управления”, Журнал руководства, Vol. 27, № 22003
  21. ^ Уильямс, П., "Методы прямой транскрипции Эрмита – Лежандра – Гаусса – Лобатто в оптимизации траектории", Успехи в астронавтических науках. Vol. 120, Часть I, стр. 465–484. 2005 г.