Теорема Гелл-Манна и Лоу - Gell-Mann and Low theorem

В Теорема Гелл-Манна и Лоу это теорема в квантовая теория поля что позволяет связать основное (или вакуумное) состояние взаимодействующей системы с основным состоянием соответствующей невзаимодействующей теории. Это было доказано в 1951 г. Мюррей Гелл-Манн и Фрэнсис Э. Лоу. Теорема полезна, потому что, среди прочего, связывая основное состояние взаимодействующей теории с ее невзаимодействующим основным состоянием, она позволяет выразить Функции Грина (которые определены как значения математического ожидания полей изображения Гейзенберга во взаимодействующем вакууме) как значения ожидания картинка взаимодействия поля в невзаимодействующем вакууме. Хотя теорема Гелл-Манна и Лоу обычно применяется к основному состоянию, она применима к любому собственному состоянию гамильтониана. Его доказательство основано на идее начать с невзаимодействующего гамильтониана и адиабатически включать взаимодействия.

История

Теорема была впервые доказана Гелл-Манн и Низкий в 1951 г., используя Серия Дайсон. В 1969 г. Клаус Хепп предоставили альтернативный вывод для случая, когда исходный гамильтониан описывает свободные частицы, а взаимодействие ограничено по норме. В 1989 году Ненсиу и Раше доказали это с помощью адиабатическая теорема. Доказательство, не основанное на расширении Дайсона, было дано в 2007 году Молинари.

Формулировка теоремы

Позволять ${ displaystyle | Psi _ {0} rangle}$ быть собственным состоянием ${ displaystyle H_ {0}}$ с энергией ${ displaystyle E_ {0}}$ и пусть "взаимодействующий" гамильтониан будет ${ displaystyle H = H_ {0} + gV}$ , куда ${ displaystyle g}$ - константа связи и ${ displaystyle V}$ срок взаимодействия. Определим гамильтониан ${ displaystyle H _ { epsilon} = H_ {0} + e ^ {- epsilon | t |} gV}$ который эффективно интерполирует между ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle H_ {0}}$ в пределе ${ displaystyle epsilon rightarrow 0 ^ {+}}$ и ${ Displaystyle | т | rightarrow infty}$ . Позволять ${ displaystyle U _ { epsilon I}}$ обозначим оператор эволюции в картинка взаимодействия. Теорема Гелл-Манна и Лоу утверждает, что если предел как ${ displaystyle epsilon rightarrow 0 ^ {+}}$ из

{ displaystyle | Psi _ { epsilon} ^ {( pm)} rangle = { frac {U _ { epsilon I} (0, pm infty) | Psi _ {0} rangle} { langle Psi _ {0} | U _ { epsilon I} (0, pm infty) | Psi _ {0} rangle}}}

существует, тогда ${ Displaystyle | Psi _ { epsilon} ^ {( pm)} rangle}$ являются собственными состояниями ${ displaystyle H}$ .

Обратите внимание, что в применении, скажем, к основному состоянию, теорема не гарантирует, что развитое состояние будет основным состоянием. Другими словами, железнодорожный переезд не исключен.

Доказательство

Как и в исходной статье, теорема обычно доказывается с использованием разложения Дайсона оператора эволюции. Однако его применимость выходит за рамки теории возмущений, как было продемонстрировано Молинари. Здесь мы следуем методу Молинари. Сосредоточиться на ${ displaystyle H _ { epsilon}}$ и разреши ${ Displaystyle г = е ^ { эпсилон тета}}$ . Из уравнения Шредингера для оператора временной эволюции

{ displaystyle i hbar partial _ {t_ {1}} U _ { epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = H _ { epsilon} (t_ {1}) U _ { epsilon} (t_ {1}, t_ {2})}

и граничное условие ${ Displaystyle U _ { epsilon} (т_ {2}, т_ {2}) = 1}$ мы можем формально написать

{ displaystyle U _ { epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = 1 + { frac {1} {i hbar}} int _ {t_ {2}} ^ {t_ {1}} dt '(H_ {0} + e ^ { epsilon ( theta - | t' |)} V) U _ { epsilon} (t ', t_ {2}).}

Сосредоточьтесь на этом деле ${ Displaystyle 0 geq t_ {1} geq t_ {2}}$ . Через замену переменных ${ Displaystyle тау = т '+ тета}$ мы можем написать

{ Displaystyle U _ { epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = 1 + { frac {1} {я hbar}} int _ { theta + t_ {2}} ^ { theta + t_ {1}} d tau (H_ {0} + e ^ { epsilon tau} V) U _ { epsilon} ( tau - theta, t_ {2}).}

Таким образом, мы имеем

{ displaystyle partial _ { theta} U _ { epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = epsilon g partial _ {g} U _ { epsilon} (t_ {1}, t_ {2 }) = partial _ {t_ {1}} U _ { epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) + partial _ {t_ {2}} U _ { epsilon} (t_ {1}, t_ {2}).}

Этот результат можно объединить с уравнением Шредингера и присоединенным к нему

{ displaystyle -i hbar partial _ {t_ {1}} U _ { epsilon} (t_ {2}, t_ {1}) = U _ { epsilon} (t_ {2}, t_ {1}) H_ { epsilon} (t_ {1})}

чтобы получить

{ displaystyle i hbar epsilon g partial _ {g} U _ { epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = H _ { epsilon} (t_ {1}) U _ { epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) - U _ { epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) H _ { epsilon} (t_ {2}).}

Соответствующее уравнение между ${ displaystyle H _ { epsilon I}, U _ { epsilon I}}$ та же. Его можно получить, предварительно умножив обе части на ${ displaystyle e ^ {iH_ {0} t_ {1} / hbar}}$ , после умножения на ${ displaystyle e ^ {iH_ {0} t_ {2} / hbar}}$ и используя

{ displaystyle U _ { epsilon I} (t_ {1}, t_ {2}) = e ^ {iH_ {0} t_ {1} / hbar} U _ { epsilon} (t_ {1}, t_ {2 }) e ^ {- iH_ {0} t_ {2} / hbar}.}

Другой интересующий нас случай, а именно ${ Displaystyle т_ {2} geq t_ {1} geq 0}$ можно рассматривать аналогичным образом и дает дополнительный знак минус перед коммутатором (мы не рассматриваем здесь случай, когда ${ displaystyle t_ {1,2}}$ имеют смешанные знаки). Таким образом, получаем

{ displaystyle left (H _ { epsilon, t = 0} -E_ {0} pm i hbar epsilon g partial _ {g} right) U _ { epsilon I} (0, pm infty ) | Psi _ {0} rangle = 0.}

Мы переходим к случаю отрицательного времени. Сокращение различных операторов для ясности

{ displaystyle i hbar epsilon g partial _ {g} left (U | Psi _ {0} rangle right) = (H _ { epsilon} -E_ {0}) U | Psi _ { 0} rangle.}

Теперь используя определение ${ displaystyle Psi _ { epsilon}}$ мы дифференцируем и исключаем производные ${ displaystyle partial _ {g} (U | Psi _ {0} rangle)}$ используя приведенное выше выражение, найдя

{ displaystyle { begin {align} я hbar epsilon g partial _ {g} | Psi _ { epsilon} rangle & = { frac {1} { langle Psi _ {0} | U | Psi _ {0} rangle}} (H _ { epsilon} -E_ {0}) U | Psi _ {0} rangle - { frac {U | Psi _ {0} rangle} { { langle Psi _ {0} | U | Psi _ {0} rangle} ^ {2}}} langle Psi _ {0} | (H _ { epsilon} -E_ {0}) U | Psi _ {0} rangle & = (H _ { epsilon} -E_ {0}) | Psi _ { epsilon} rangle - | Psi _ { epsilon} rangle langle Psi _ {0} | H _ { epsilon} -E_ {0} | Psi _ { epsilon} rangle & = left [H _ { epsilon} -E right] | Psi _ { epsilon} rangle. end {выравнивается}}}

куда ${ displaystyle E = E_ {0} + langle Psi _ {0} | H _ { epsilon} -H_ {0} | Psi _ { epsilon} rangle}$ . Теперь мы можем позволить ${ displaystyle epsilon rightarrow 0 ^ {+}}$ как по предположению ${ displaystyle g partial _ {g} | Psi _ { epsilon} rangle}$ в левой части конечно. Тогда мы ясно видим, что ${ displaystyle | Psi _ { epsilon} rangle}$ является собственным состоянием ${ displaystyle H}$ и доказательство завершено.

Теорема Гелл-Манна и Лоу - Gell-Mann and Low theorem

Содержание

История

Формулировка теоремы

Доказательство

Рекомендации