Обобщенная теорема Гельмгольца - Википедия - Generalized Helmholtz theorem

В обобщенная теорема Гельмгольца является многомерным обобщением Теорема Гельмгольца что справедливо только в одном измерении. Обобщенная теорема Гельмгольца выглядит следующим образом.

Позволять

${ displaystyle mathbf {p} = (p_ {1}, p_ {2}, ..., p_ {s}),}$

${ Displaystyle mathbf {q} = (q_ {1}, q_ {2}, ..., q_ {s}),}$

быть канонические координаты из s-размерный Гамильтонова система, и разреши

${ Displaystyle Н ( mathbf {p}, mathbf {q}; V) = К ( mathbf {p}) + varphi ( mathbf {q}; V)}$

быть Гамильтониан функция, где

${ Displaystyle К = сумма _ {я = 1} ^ {s} { гидроразрыва {p_ {i} ^ {2}} {2m}}}$,

это кинетическая энергия и

${ Displaystyle varphi ( mathbf {q}; V)}$

это потенциальная энергия который зависит от параметра ${ displaystyle V}$.Пусть гиперповерхности постоянной энергии в 2s-мерное фазовое пространство системы метрически неразложимый и разреши ${ displaystyle left langle cdot right rangle _ {t}}$ обозначают среднее время. Определите количества ${ displaystyle E}$, ${ displaystyle P}$, ${ displaystyle T}$, ${ displaystyle S}$, следующее:

${ displaystyle E = K + varphi}$,

${ displaystyle T = { frac {2} {s}} left langle K right rangle _ {t}}$,

${ displaystyle P = left langle - { frac { partial varphi} { partial V}} right rangle _ {t}}$,

${ Displaystyle S (E, V) = log int _ {H ( mathbf {p}, mathbf {q}; V) leq E} d ^ {s} mathbf {p} d ^ {s } mathbf {q}.}$

Потом:

${ displaystyle dS = { frac {dE + PdV} {T}}.}$

Замечания

Тезис этой теоремы классическая механика читается в точности как теорема тепла из термодинамика. Этот факт показывает, что между некоторыми механическими величинами в многомерном пространстве существуют термодинамические связи. эргодический системы. Это, в свою очередь, позволяет определить «термодинамическое состояние» многомерной эргодической механической системы без требования, чтобы система состояла из большого числа степеней свободы. В частности температура ${ displaystyle T}$ дается удвоенным средним по времени кинетической энергией на степень свободы, а энтропия ${ displaystyle S}$ логарифмом объема фазового пространства, заключенного поверхность постоянной энергии (т.е. так называемый объемная энтропия ).

Рекомендации

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал без источника может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: «Обобщенная теорема Гельмгольца»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Май 2008 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

дальнейшее чтение

• Гельмгольц, Х. фон (1884а). Principien der Statik monocyklischer Systeme. Журнал Борхардта-Крелля für die reine und angewandte Mathematik, 97, 111–140 (также в Wiedemann G. (Ed.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (pp. 142–162, 179–202). Leipzig: Johann Ambrosious Barth).
• Гельмгольц, Х., фон (1884b). Studien zur Statik monocyklischer Systeme. Sitzungsberichte der Kö niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, I, 159–177 (также в Wiedemann G. (Ed.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (pp. 163–178). Leipzig: Johann Ambrosious Barth).
• Больцманн, Л. (1884). Über die Eigenschaften monocyklischer und anderer damit verwandter Systeme.Crelles Journal, 98: 68–94 (также в Boltzmann, L. (1909). Wissenschaftliche Abhandlungen (Vol. 3, pp. 122–152), F. Hasenöhrl (Ed.) Leipzig. Reissied New York: Chelsea, 1969).
• Хинчин, А.И. (1949). Математические основы статистической механики. Нью-Йорк: Дувр.
• Галлавотти, Г. (1999). Статистическая механика: краткий трактат. Берлин: Springer.
• Кампизи, М. (2005) О механических основах термодинамики: обобщенная теорема Гельмгольца Исследования по истории и философии современной физики 36: 275–290