Голигон - Golygon

8-сторонний голигон, длина сторон обозначена.

А голигон есть ли многоугольник со всем прямые углы (а прямолинейный многоугольник ), стороны которого представляют собой последовательные целые длины. Голигоны были изобретены и названы Ли Саллоус, и популяризируется А.К. Дьюдни в 1990 году Scientific American столбец (Смит).[1] Варианты определения голигонов включают возможность пересечения ребер, использование последовательности длин ребер, отличных от последовательных целых чисел, и учет углов поворота, отличных от 90 °.[2]

Характеристики

В любом голигоне все горизонтальные грани имеют одинаковые паритет как друг друга, как и все вертикальные края. Следовательно, число п сторон должны допускать решение системы уравнений

Отсюда следует, что п должно быть кратно 8.

Количество голигонов при заданном допустимом значении п могут быть эффективно вычислены с использованием производящих функций (последовательность A007219 в OEIS ). Количество голигонов для допустимых значений п это 4, 112, 8432, 909288 и т. д.[3] Намного сложнее найти количество решений, соответствующих непересекающимся голигонам.

Есть уникальный восьмиугольный голигон (показан на рисунке); может плитка самолет на 180 градусов с помощью Критерий Конвея.

Обобщения

А последовательный изогон порядка n представляет собой замкнутый многоугольник с постоянным углом в каждой вершине и имеющий последовательные стороны длиной 1, 2, ..., n единиц. Многоугольник может быть самопересекающимся.[4] Голигоны - это частный случай изогонов с последовательными сторонами.[5]

Голигедрон

Трехмерное обобщение голигона называется голигедр–Замкнутая односвязная сплошная фигура, ограниченная гранями кубической решетки и имеющая площади граней в последовательности 1, 2, ..., n, для некоторого целого числа n, впервые введенная в вопросе MathOverflow.[6][7]

Найдены голигедры со значениями n, равными 32, 15, 12 и 11 (минимально возможные).[8]

Рекомендации

  1. ^ Дьюдни, А. (1990). «Странное путешествие по четным дорогам приведет к дому в Голигон-Сити». Scientific American. 263: 118–121.
  2. ^ Гарри Дж. Смит. "Что такое Голигон?". Архивировано из оригинал на 2009-10-27.
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Голигон». MathWorld.
  4. ^ Саллоуз, Ли (1992). «Новые пути в последовательных изогонах». Математический интеллект. 14 (2): 55–67. Дои:10.1007 / BF03025216.
  5. ^ Саллоуз, Ли; Гарднер, Мартин; Гай, Ричард К.; Кнут, Дональд (1991). «Серийные изогоны 90 градусов». Математический журнал. 64 (5): 315–324. Дои:10.2307/2690648. JSTOR  2690648.
  6. ^ «Можно ли найти решетчатые многогранники с гранями площадью 1,2,3,…?»
  7. ^ Голигоны и голигедры
  8. ^ Обновление Golyhedron

внешняя ссылка